Resolución de problemas de optimización de funciones.

Ejercicio 1.

Lee atentamente

Un segmento de 1 m de longitud se divide en dos partes. Sobre cada una de las partes se construye un triángulo equilátero. Halla las longitudes de los segmentos que hacen que la suma de las áreas de los triángulos sea máxima y mínima.

Modifica el valor del parámetro "a" que es la longitud de uno de los trozos.

Observa cómo se van modificando los triángulos.

Observa el rastro que deja el punto. Dicho rastro es el de la gráfica de la función suma.
Actividades:
1ª    Tienes que averiguar cuál es la expresión de dicha función y representarla escribiéndola donde pone y=0 en color gris. La gráfica que se representará de tu función tiene que coincidir con el rastro.
2ª   Observa que al ser una función derivable en todo su dominio los extremos absolutos se alcanzarán en los puntos frontera o en los extremos relativos. Halla los valores del parámetro para los que se alcanzan los valores máximos y mínimos.
3º   Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto donde se minimiza la función suma de áreas. Represéntala escribiéndola en la casilla donde pone y=0 en verde .Comprobarás que dicha recta es de pendiente cero.

 

Ejercicio  2.

Lee atentamente

A partir de una plancha cuadrada de 1 m2 se quieren construir cajas de base cuadrada, cortando esquinas cuadradas e iguales y girando las alas resultantes.

Observa la escena, modificando el parámetro "a" y comprobarás cómo se van formando las distintas cajas.

En este ejercicio se trata de que optimices la función volumen de la caja.

Al igual que en el ejercicio anterior verás que al mover el parámetro hay un punto que va dejando un rastro que no es mas que la función volumen que debemos optimizar.

La escena representada te dará un clara idea de cómo se comporta dicha función.
Actividades:
1ª    Tienes que averiguar cuál es la expresión de la función volumen de la caja y representarla escribiéndola donde pone y=0.  La gráfica que se representará de tu función tiene que coincidir con el rastro.
2ª     Observa que al ser una función derivable en todo su dominio los extremos absolutos se alcanzarán en los puntos frontera o en los extremos relativos. Halla los valores del parámetro para los que se alcanzan los valores máximos y mínimos. 
3º    Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto donde se maximiza la función volumen de la caja. Represéntala escribiéndola en la casilla donde pone y=0 en verde .Comprobarás que dicha recta es de pendiente cero.

Ejercicio  3.

Lee atentamente

En este ejercicio se trata de inscribir un cilindro recto en una esfera de radio R tal y como se muestra en la escena.

Tendrás que hallar las dimensiones del cilindro (radio de la base y altura) para los cuales se consigue que su volumen sea máximo.

 

Actividades:
1ª    Tienes que averiguar cuál es la expresión de la función volumen del cilindro y representarla escribiéndola donde pone y=0.  La gráfica que se representará de tu función tiene que coincidir con el rastro dibujado.
2ª    Encuentra para qué valores de las dimensiones del cilindro se obtiene un volumen máximo y comprueba que estos valores obtenidos coinciden con los de la escena. 
3º    Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto donde se maximiza la función volumen del cilindro. Represéntala escribiéndola en la casilla donde pone y=0 en verde .Comprobarás que dicha recta es de pendiente cero.

Autores: Ana Magdalena Villarón Hernández  y Antonio Vesperinas Palomar

Alumno
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000
Alumno