I Inverso de un número complejo
Por definición el inverso de un número complejo z es otro número complejo que se representa por 1/z y que tiene la propiedad de que multiplicado por el primero el resultado es igual a 1+0i=1.
1.- Teniendo en cuenta la definición, deduce quién será el inverso de un
número complejo z=(r
)a expresado en forma
polar
2.- ¿Todos los números complejos tienen inverso?. (Reflexiona qué
ocurre en el caso real)
3.- Aventura cuál será el procedimiento para calcular el inverso
de un número complejo expresado en forma binómica.(Si no
encuentras el camino, las actividades que vienen a continuación pueden arrojar luz sobre la cuestión)
4.- Determina las analogías y diferencias entre el inverso y el
conjugado del mismo número complejo. ¿En qué casos el inverso y conjugado coinciden?
Ya sabemos que al multiplicar un número complejo z
por su conjugado el resultado
es un número real y que además coincide con el cuadrado del módulo de z.
Nuestro objetivo es localizar un número complejo que multiplicado por z nos
de 1.
5.- ¿Qué tendremos que hacer para que el resultado de la operación
z´z*sea 1?.
6.- Deduce que para hallar el inverso de un número complejo z
basta con multiplicar primero por su conjugado
y el resultado multiplicarlo a su vez por el inverso del cuadrado del módulo de z.
7.- Calcula el inverso de los siguientes números complejos:
a) (5)135º
b) 4-3i c) 7
8.- ¿Qué resultado obtenemos si al cociente 1/(a+bi) se le multiplica y divide por el conjugado del
denominador (a-bi)?
Toda división entre dos números complejos
z2
y
z
II División entre dos números complejos.
9.- Observa las relaciones que hay entre los módulos y argumentos de los
números complejos z1
, z2
y z2/z1
. Determina una fórmula para realizar la división entre dos números
complejos dados en forma polar.
( Puedes modificar la posición
de z1 y z2 arrastrando sus afijos).
10.- Observa las relaciones que hay entre los módulos y argumentos de los
números complejos
z
11.- Determina un procedimiento para calcular el cociente de dos números complejos expresados en forma binómica.
12.- Al igual que en la actividad 8 observa el resultado de multiplicar y dividir al cociente (a+bi)/(c+di) por el conjugado del denominador (c-di). ¿Qué analogías hay entre esta situación y el método hallado en el ejercicio anterior?.
13.- Halla el resultado de las siguientes operaciones:
a) (4)180º/(2)180º b) (4-3i)/(3-i) c) 2i/(-1-i) d) 5/(2i)
14.- Calcula el valor de b para que la división (3+bi)/(2-i) sea un número complejo:
a) imaginario puro b) cuyo afijo esté en la bisectriz del primer cuadrante.
15.- Resuelve la siguiente ecuación z/(2+i)=9+2i
III Interpretación geométrica del cociente de dos números complejos
Puesto que una división puede reducirse a un producto, de igual forma las transformaciones geométricas, que sobre los afijos de los números complejos, produce una división son análogas a las realizadas por la multiplicación.
16.- Traslada la situación del cociente al de un producto y deduce cuál
será la transformación de la figura verde.(Puedes mover
la figura arrastrando el punto amarillo z)
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