CÓNICAS
Geometría
 

1. LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto que llamamos centro.

En esta escena se comprueba esta propiedad: la distancia del punto P al centro C(a,b), d(P,C), es igual a r que llamamos radio.

Mueve el punto P para comprobarlo.

Prueba con nuevos centros y radios distintos.


2. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
En las condiciones anteriores la ecuación de la circunferencia será:

(x-a)²+(y-b)²=r²

Si elevas al cuadrado y desarrollas los paréntesis queda:

x²-2ax+a²+y²-2by+b²-r²=0

Llamando m=-2a, n=-2b y p=a²+b²-r² la ecuación se reduce a

x²+y²+mx+ny+p=0

Esto es una ecuación de segundo grado en x y en y pero no todas las ecuaciones de esta forma son circunferencias.

En esta escena tienes la ecuación y las variables m, n y p. Dales diversos valores

Ejercicios:

1.-Comprueba qué ocurre con los valores en los que n y p son cero.

2.-¿Para qué valores de m, n y p no es una circunferencia?


3. POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA
Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia al producto de  PA·PB donde P, A y B son tres puntos de una misma recta que corta a la circunferencia en los puntos A y B.

Observa la escena y comprueba que este producto siempre es el mismo independientemente de la recta que se tome, y que depende del punto elegido y de la circunferencia.

3.-Demuestra que la potencia de un punto respecto a una circunferencia se obtiene sustituyendo el punto en la ecuación de la circunferencia. Es decir, si el punto es P(x0,y0) y la circunferencia es

(x-a)²+(y-b)²-r²=0,

la potencia será

(x0-a)²+(y0-b)²-r².

4.-Habrás observado que, dependiendo del punto, la potencia puede ser mayor, menor o igual a cero. Di en qué casos ocurre esto.


4. EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tiene igual potencia respecto a las dos circunferencias.

Observa la escena. Mueve el punto P y verás cómo recorre la recta en azul que es el eje radical de las dos circunferencias.

5.-Cambia las circunferencias y observa cómo es el nuevo eje radical. ¿Por qué puntos pasa el eje?

6.-Deduce la ecuación del eje en función de las dos circunferencias.


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  Antonio Caro Merchante
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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