Según se desprende de la generación, para determinar la tangente a la la parábola en un punto P de ella, basta proyecta este punto sobre la directriz (Q en la figura) y trazar la mediatriz del segmento FQ.

En el applet puedes variar d mediante su botón y P por arrastre directo sobre la curva.

La normal se ha dibujado en verde y tiene una propiedad cuya demostración es evidente observando el dibujo:

"Sea P es un punto cualquiera de la parábola, T la intersección de la normal con el eje y S la proyección de P sobre el eje, la distancia TS vale d para cualquier posición de P".

Basta tener en cuenta que la normal es paralela a FQ y por tanto los triángulos rectángulos FRQ y TSP son iguales.

Tangentes desde un punto cualquiera.

Dada una parábola y un punto cualquiera del plano M tracemos la circunferencia de centro M y radio MF.

Esta circunferencia puede cortar a la directriz en dos puntos, (P y Q en la figura) uno o ninguno, por cada intersección hay una tangente que es la mediatriz del segmento definido por cada intersección y el Foco F.

Puedes variar M por arrastre directo o mediante sus botones M.x , M.y para observar lo que hemos dicho.
Para hacer que M esté sobre la parábola puedes introducir en los botones de control por ejemplo:
d = 2
M.x = 2
M.y = 1
Podrás observar que, en eses caso la circunferencia es tangente a la directriz y sólo hay una tangente a la parábola.
A partir de esa posición variando M.y con su botón de control en ambos sentidos podrás ver el tránsito de dos tangentes a una o ninguna según que M esté en cada una de las zonas en que la parábola divide al plano o en la línea de división.