Jugador Constante

	JUGADOR CONSTANTE
	Bloque: Probabilidad

JUGADOR CONSTANTE

Un jugador necesita cinco euros y sólo tiene uno. Para conseguirlos juega a cara o cruz apostando siempre la misma cantidad, 1 euro. El juego termina cuando se pierde todo o se consiguen los cinco euros. Hay que calcular la probabilidad de obtener los cinco euros.

El grafo de nuestro juego, en el cual no se han escrito las probabilidades de las transiciones por ser todas ellas 1/2, es ahora:

De nuevo, para intuir la probabilidad de ganar realizaremos tres simulaciones como las realizadas para el Jugador Audaz.

Con dos fichas:

Variante de la anterior con una ficha:

Al azar, simulando el lanzamiento de una moneda:

En seguida se ve que la frecuencia relativa de ganar se aproxima 0,2; es decir, 1/5, como en el caso del Jugador Audaz.

Para calcular la probabilidad de ganar utilizamos el grafo de forma análoga a como se hizo en el caso anterior.

Llamamos P₁, P₂, P₃, P₄ a la probabilidad de ganar si se tiene 1, 2, 3, 4 euros.

Observando el grafo se tienen las siguientes relaciones:

P₁=(1/2)·P₂ P₂=(1/2)·P₁+(1/2)·P₃ P₃=(1/2)·P₂+(1/2)·P₄ P₄=(1/2)+(1/2)·P₃

Para resolver este sistema de ecuaciones podemos, por ejemplo, sustituir P₁ en la segunda ecuación y después de sencillas manipulaciones algebraicas nos queda:

P₂=(2/3)·P₃

ahora sustituimos esta expresión en la P₃=(1/2)·P₂+(1/2)·P₄ y llegamos a:

P₃=(3/4)·P₄

que sustituida en P₄=(1/2)+(1/2)·P₃ nos da para P₄ el valor de 4/5 y de aquí obtenemos nuestra soluciones, que de nuevo son:

P₁=1/5, P₂=2/5, P₃=3/5, P₄=4/5.

Las probabilidades no cambian, se use una estrategia audaz o constante. La diferencia estriba en la duración media del juego. Este es un tema que trataremos en la página siguiente.

	Salvador Calvo-Fernández Pérez

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2004

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