DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal:
La distribución normal es el modelo que mejor
explica muchos de los fenómenos sociales; la convergencia de
múltiples factores en estos hechos hace que se tienda a eliminar
los casos extremos y predomine el tipo "normalizado".
Diremos que una Variable Aleatoria Continua sigue
una distribución normal cuando su función de
densidad es f(x), cuya gráfica es
la Campana de Gauss
La gráfica correspondiente a una distribución normal queda
determinada por los datos de la media y de la desviación
típica, por lo que las funciones de densidad de las variables
con este tipo de distribución constituyen una familia de
gráficas determinadas por estos valores.
La función f(x) que viene
representada es la que corresponde a la función
de densidad de una variable aleatoria Z ~N(0,1), es decir
que sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Es importante tener en cuenta que
p(-1<Z<1)=0.6826
p(-2<Z<2)=0.9544
p(-3<Z<3)=0.9974
Actividad 1:
- Fíjate como desplaza la gráfica f(x) cuando cambias
el valor de la media .
- Comprueba haciendo variar la desviación típica en f(x), que su
gráfica "crece" o se achata.
Distribución normal estándar:
Para evitar calcular distintas áreas, que nos
muestren las diversas probabilidades de la distribución, se ha
elaborado la tabla correspondiente a Z
~N(0,1),
llamada distribución normal
tipificada o estándar.
Existen distintos modelos de tablas, aquí
partiremos de la que nos da p(0<Z<z). Recuerda que si X es una variable aleatoria
continua, entonces p(X=x)=0.
Puesto que f(x) es simétrica respecto a OY, y todo el área debe valer 1, debemos tener en cuenta que p(Z<0)=0.5.
Actividad 2:
- Modifica el valor de z, ¿qué ocurre con p(0<Z<z1) y p(0<Z<z2) si z1<z2?.¿Es
lógico?.
- Teniendo en cuenta la simetría de la Campana de Gauss, ¿qué
relación habrá entre p(Z<z) y p(Z<-z), siendo z>0?.
- ¿Cómo hallarías p(z1<Z<z2)
siendo z1<z2?
Distribución normal estándar. Distintas probabilidades:
Actividad 3:
- Relaciona las siguientes probabilidades en las que suponemos
z>0:
1.- p(0<Z<z) con p(-z<Z<0)
2.- p(0<Z<z) y p(Z<0)
con p(Z<z)
3.- p(Z>z) con p(0<Z<z) y p(Z>0)
4.- p(Z>-z) con p(0<Z<z) y p(Z>0)
5.- p(z1<Z<z2) con p(Z<z1)
y p(Z<z2)?
- Recuerda que p(Z<0)=p(Z>0)=0.5. ¿Por qué?.
- Comprueba en una tabla de distribución normal los siguientes
valores:
1.- p(0<Z<1.35)=0.4115 .
¿Cuánto es p(-1.35<Z<0)?
2.- p(0<Z<3.37)=0.4996 .
¿Cuánto es p(Z<3.37)?
3.- p(Z>1.6)=0.5-0.4452=0.0548 .
¿Cuánto es p(Z<-1.6)?
4.- p(Z>-0.92)=0.5+0.3212=0.8212 . ¿Cuánto es p(0<Z<0.92)?
5.- p(-0.47<Z<1.52)=0.6165
Tipificación de una variable normal cualquiera:
Una vez que se sabe manejar
correctamente la tabla de la distribución Z~N(0,1), y calcular
todo tipo de probabilidades, resta aún el problema de obtener
esas mismas probabilidades en el caso de una variable con
distribución normal cualquiera X, es decir, donde la media y la
desviación típica no tienen por qué ser 0 y 1 respectivamente.
En estos casos siempre debe
"normalizarse" la variable X:
Z=(X-media)/desv_típica
De este modo, p(X<x)=p(Z<(x-media)/desv_típica)),
y este último valor sabemos calcularlo ya por los apartados
anteriores.
Actividad 4:
Considera X~ N(150,110).Calcula:
1.- p(X>158)
2.- p(145<X<155)
3.- p(X>150)
La distribución normal como
aproximación de la binomial:
En la siguiente figura puede verse cómo los polígonos de
frecuencia de distribuciones B~(n,p) se aproximan a una
distribución normal a medida que n aumenta, sería una
distribución normal de media np y varianza npq.
La aproximación es muy precisa cuando np>5 y nq>5.
Actividad 5:
- ¿Se parece el polígono de frecuencias de B(5,0.4) a la función de densidad de
N(8,2.19)?
- ¿Y el de B(20,0.4)?. ¿Cuánto
vale en este caso np? ¿y nq?
- ¿A qué corresponde el valor 2.19?
Como ves, la gráfica amarilla se va superponiendo a la roja; si
la continuaramos la cubriría prácticamente.
- Si X~B(20,0.4), calcula
1.- p(X>16)
2.- p(10<X<15)
Autora: Mª Carmen Fraile Fraile