DISTRIBUCIÓN NORMAL



 

La distribución normal:

La distribución normal es el modelo que mejor explica muchos de los fenómenos sociales; la convergencia de múltiples factores en estos hechos hace que se tienda a eliminar los casos extremos y predomine el tipo "normalizado".
Diremos que una Variable Aleatoria Continua sigue una distribución normal cuando su función de densidad es f(x), cuya gráfica es la Campana de Gauss


   

La gráfica correspondiente a una distribución normal queda determinada por los datos de la media y de la desviación típica, por lo que las funciones de densidad de las variables con este tipo de distribución constituyen una familia de gráficas determinadas por estos valores.
La función f(x) que viene representada es la que corresponde a la función de densidad de una variable aleatoria Z ~N(0,1), es decir que sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Es importante tener en cuenta que
            p(-1<Z<1)=0.6826
            p(-2<Z<2)=0.9544
            p(-3<Z<3)=0.9974

Actividad 1:

- Fíjate como desplaza la gráfica f(x) cuando cambias el valor de la media .
- Comprueba haciendo variar la desviación típica en
f(x), que su gráfica "crece" o se achata.

Distribución normal estándar:

Para evitar calcular distintas áreas, que nos muestren las diversas probabilidades de la distribución, se ha elaborado la tabla correspondiente a Z ~N(0,1), llamada distribución normal tipificada o estándar.
Existen distintos modelos de tablas, aquí partiremos de la que nos da p(0<Z<z). Recuerda que si X es una variable aleatoria continua, entonces p(X=x)=0.


   

Puesto que f(x) es simétrica respecto a OY, y todo el área debe valer 1, debemos tener en cuenta que p(Z<0)=0.5.

Actividad 2:

- Modifica el valor de z, ¿qué ocurre con p(0<Z<z1) y p(0<Z<z2) si z1<z2?.¿Es lógico?.
- Teniendo en cuenta la simetría de la Campana de Gauss, ¿qué relación habrá entre p(Z<z) y p(Z<-z), siendo z>0?.
- ¿Cómo hallarías p(z1<Z<z2) siendo z1<z2?

Distribución normal estándar. Distintas probabilidades:


   
 

Actividad 3:

- Relaciona las siguientes probabilidades en las que suponemos z>0:
            1.- p(0<Z<z) con p(-z<Z<0)
            2.- p(0<Z<z)  y p(Z<0) con p(Z<z)
            3.- p(Z>z) con p(0<Z<z)p(Z>0)
            4.- p(Z>-z) con  p(0<Z<z) y p(Z>0)
            5.- p(z1<Z<z2) con p(Z<z1) y p(Z<z2)?
- Recuerda que p(Z<0)=p(Z>0)=0.5. ¿Por qué?.
- Comprueba en una tabla de distribución normal los siguientes valores:
            1.- p(0<Z<1.35)=0.4115 . ¿Cuánto es p(-1.35<Z<0)?
            2.- p(0<Z<3.37)=0.4996 . ¿Cuánto es p(Z<3.37)?
            3.- p(Z>1.6)=0.5-0.4452=0.0548 . ¿Cuánto es p(Z<-1.6)?
            4.- p(Z>-0.92)=0.5+0.3212=0.8212 . ¿Cuánto es p(0<Z<0.92)?
            5.- p(-0.47<Z<1.52)=0.6165

Tipificación de una variable normal cualquiera:

Una vez que se sabe manejar correctamente la tabla de la distribución Z~N(0,1), y calcular todo tipo de probabilidades, resta aún el problema de obtener esas mismas probabilidades en el caso de una variable con distribución normal cualquiera X, es decir, donde la media y la desviación típica no tienen por qué ser 0 y 1 respectivamente.
En estos casos siempre debe "normalizarse" la variable X:
                Z=(X-media)/desv_típica
De este modo, p(X<x)=p(Z<(x-media)/desv_típica)), y este último valor sabemos calcularlo ya por los apartados anteriores.

Actividad 4:

Considera X~ N(150,110).Calcula:
    1.- p(X>158)
    2.- p(145<X<155)
    3.- p(X>150)

La distribución normal como aproximación de la binomial:
 
En la siguiente figura puede verse cómo los polígonos de frecuencia de distribuciones B~(n,p) se aproximan a una distribución normal a medida que n aumenta, sería una distribución normal de media np y varianza npq.
La aproximación es muy precisa cuando np>5 y nq>5.
 

Actividad 5:

- ¿Se parece el polígono de frecuencias de B(5,0.4) a la función de densidad de N(8,2.19)?
- ¿Y el de B(20,0.4)?. ¿Cuánto vale en este caso np? ¿y nq?
- ¿A qué corresponde el valor 2.19?
Como ves, la gráfica amarilla se va superponiendo a la roja; si la continuaramos la cubriría prácticamente.
- Si X~B(20,0.4), calcula
        1.- p(X>16)
        2.- p(10<X<15)


Autora: Mª Carmen  Fraile Fraile