INECUACIONES


 

Introducción

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Inecuaciones cuadráticas con dos incógnitas

Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

 

INTRODUCCIÓN

Una inecuación con dos incógnitas, x e y, es una desigualdad que puede reducirse, por transposición de términos, a uno de estos tipos:

A(x,y) ³ 0 ó A(x,y) > 0

A(x,y) representa una expresión algebraica en las variables x e y (dicho de otro modo, una "función" de las dos variables x e y).

Diremos que el par de números (a,b) es una solución particular de la inecuación A(x,y) > 0, si al sustituir x por a, e y por b, se cumple la desigualdad o sea, si A(a,b)> 0. El conjunto de todas las soluciones de la inecuación se llama conjunto solución o solución general de la misma.

(Se tiene una definición análoga con la inecuación A(x,y) ³ 0).

Ejemplo:

Considera la inecuación 2x+y>5, y los pares de valores (a,b)=(-4,1) y (c,d)=(5,6).

(-4,1) no es solución de la inecuación, pues 2*(-4)+1=-7 no da un resultado mayor que 5.

(5,6) sí es solución de la inecuación, pues 2*5+6=16 es un resultado mayor que 5.

 

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Interpretación geométrica

Dada, por ejemplo, una inecuación del tipo A(x,y)>0, diremos que A(x,y)=0 es su ecuación asociada.

En general, si representamos gráficamente el conjunto de los puntos (x,y) del plano que cumplen A(x,y)=0 se obtiene una línea que divide al plano en dos regiones, una de ellas está formada por los puntos que cumplen A(x,y)>0 y la otra está formada por los puntos que cumplen A(x,y)<0.

Para distinguir a qué inecuación corresponde cada una de las dos regiones, tomaremos un punto de una de ellas y veremos cuál de las desigualdades A(x,y)>0, A(x,y)<0 cumple: Todos los demás puntos de esa región cumplirán la misma inecuación que el punto elegido.

En particular, la solución de una inecuación de primer grado con dos incógnitas, Ax+By>C, está formada por los puntos de un semiplano, cuyo borde es la recta de ecuación Ax+By=C, la recta estará incluida en la solución si la desigualdad no es estricta (es decir Ax+By ³ C).

 

Ejercicios

1.- Mueve el punto P y observa si verifica o no la inecuación.

2.- Cambia los valores a, b, y c .

3.- Repite el ejercicio 1.

 

Observa la siguiente escena donde la recta ax+by=c divide al plano en dos regiones; la formada por los puntos que cumplen ax+by>c y la otra formada por los puntos que cumplen ax+by<c.

La parte rayada es la solución de la inecuación ax+by>c.

 

 

4.- Modifica los puntos a, b y c y observa cómo cambian las regiones.

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más de estas inecuaciones.

El par (x,y) es solución si satisface simultáneamente todas las inecuaciones.

 

 

Ejercicios

5.- Modifica las inecuaciones por x + 2y >2 y x +2y< -2 . ¿Qué ocurre en ese caso?

En general, para resolver o encontrar la solución de un sistema de n inecuaciones se encontrarán los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones por separado y después se hará la intersección de dichos semiplanos. Dicha intersección puede ser vacía y se hablará entonces de sistema incompatible.

6.- Resuelve en tu cuaderno el siguiente sistema de inecuaciones:

x - 3y +2> 0

2x + y - 3 <0

x + 2y +4 >0

INECUACIONES CUADRÁTICAS CON DOS INCÓGNITAS

Son inecuaciones del tipo:

y> ax2 +bx +c

y ³ ax2 +bx +c

y < ax2 +bx +c

y £ ax2 +bx +c

Lo mismo que en las inecuaciones lineales cada inecuación tiene una curva asociada, que será y = ax2 +bx +c que la representaremos gráficamente (obteniendo una parábola) y dicha curva nos divide al plano en dos regiones, una de las cuales será solución y la otra no. Para obtener la región solución se comprueba si un punto no perteneciente a la curva pertenece o no a la solución. Si pertenece es la región donde está incluido y si no, la otra.

La curva estará incluida en la solución si la desigualdad no es estricta (£ ó ³ ).

 

 

7.- Dada la inecuación y > x2 - 2x - 6 comprueba moviendo el punto P, que la parte rayada es la solución y la otra no.

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

En general para resolver un sistema de n inecuaciones se encontrarán las soluciones de cada inecuación (representando la curva asociada) y la solución del sistema será la intersección de las soluciones.

Veamos ahora tres ejemplos:

1º- Sistema formado por una inecuación lineal y otra cuadrática.

 

 

2º- Sistema formado por dos inecuaciones cuadráticas.

 

 

3º- Sistema formado por una inecuación lineal y otra inecuación cuya curva asociada es una circunferencia (si se modifican los valores m, n pasa a ser una elipse o una hipérbola)

8.- El sistema representado es:

ax + by +c > 0

mx2 +ny2 < 25

Modifica m ó n y observarás cómo se transforma la circunferencia en una elipse o en una hipérbola.

Si colocas el cursor en la zona común obtendrás puntos que pertenecen a la solución.

9.- Escribe tres puntos que sean solución, en caso de que exista, y otros tres que no lo sean.

10.- Se puede plantear otros tipos de ejercicios con funciones que, dependiendo del nivel , los alumnos conozcan.

 

Autor: Carmen Omatos - Natividad Anguiano