Parábola

Funciones de 2º grado

I.- LAS FUNCIONES y=ax².

La representación gráfica de la función y=ax² es una parábola que pasa por el Origen de coordenadas O(0,0).

1.- Comprueba que para valores positivos de a, la parábola está en el semiplano superior respecto al eje de abscisas y para valores negativos de a se encuentra en el semiplano inferior?¿Por qué punto (punto denominado Vértice de la parábola) pasan todas estas parábolas?(Utiliza el botón Limpiar para borrar las parábolas que van quedando al cambiar el valor de a)

2.- Comprueba que las gráficas solo varían  en que se estilizan más o menos según aumenta o disminuye el valor absoluto de a. Representa gráficamente y=0.5x², y=8x²; y=-x², y=-9x².

3- Observa que el eje de todas las parábolas es el eje de coordenadas Y .

4.-Al completar esta tabla, se observa que f(x)=f(-x) y que el eje de coordenadas Y es el eje de simetria de la parábola:

II.-TRASLACIÓN DE LA PARÁBOLA y=ax² .

Si el vector de traslación tiene de coordenadas (h,k), la traslación de la parábola y=ax² es la parábola: y-k=a(x-h)², que desarrollada y reduciendo términos adopta la forma y= ax² +bx+c, donde b=-2ah, c=ah²+k

  Toda parábola de eje vertical es una traslación de la parábola y=a x²

1.- Comprueba, pulsando animar que la parábola y-1= (x-3)² con Vértice V(3,1) y a=1 es una traslación (el vector de traslación tiene de coordenadas (3,1) de la parábola y=x². Observa las coordenadas de un punto cualquiera P perteneciente a la parábola y=x² y las coordenadas del punto P´obtenido mediante la traslación perteneciente a la parábola y-1= (x-3)², moviendo el punto inicial O con el ratón.

2.- Observa que dos funciones de 2º grado que tienen el mismo coeficiente a , las              parábolas correspondientes son idénticas, aunque situadas en posición distinta; basta cambiar el valor de (h,k) para comprobarlo.

3.- Indica el vector de traslación y representa las siguientes funciones: y=x²-3, y=-(x-1)²,  y=3(x+2)²+1,  y=x²-4x+1.

III.-ESTUDIO DE LA PARÁBOLA y=ax²+bx+c .

El Dominio   de la función y=f(x)= ax² +bx+c es R, es decir x puede tomar cualquier valor real.

La determinación de los puntos de corte con el eje X (si tiene) y del Vértice de la parábola es fundamental para representar gráficamente la función de 2º grado.

1-. a) Completa esta tabla y comprueba las  coordenadas de los puntos de corte de la función y=x²-4x+3 con los ejes, del Vértice de la parábola, y de otros valores (pulsar x).

     b) ¿Cuál es el eje de simetría de la función?

2-. Comprueba pulsando estudio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función , si en el Vértice la función tiene ¿un Mínimo o un Máximo?, si la función ¿es cóncava o convexa?.

3-. Estudia del mismo modo y representa gráficamente: y=x²+2x+2, y=x²-6x+8, y=-x²+4.

                                                                                                                                       CONTINUA  ... ...                  

Mª del Carmen Teijeiro Couceiro. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2004