Visualización de funciones elementales y de sus derivadas
Análisis: Función derivada
 

1.- Funciones potenciales

1: f(x)=4 2: f(x)=x 3: f(x)=x2 4: f(x)=x3 5: f(x)=x4
6: f(x)=x-1 7: f(x)=x-2 8: f(x)=x1/2 9: f(x)=x1/3  
Hay tres entradas de parámetros, función (1 a 9),  derivada (0,1) y a (abcisa del punto). El parámetro derivada puesto a 1 visualiza la expresión de la derivada y su gráfica correspondiente. El parámetro abcisa permite evaluar el valor de la función y de su derivada.

Para averiguar conocimiento que se tiene de las derivadas de las funciones potenciales de 1 a 9, poner el parámetro derivada a valor 0 y seleccionar una función de 1 a 9, después reemplazar la entrada editable g(x) por la supuesta función derivada y poner el parámetro derivada a 1 para comprobar si la entrada de la función derivada ha sido correcta.

Pulsar Inicio y repetir para otra función.

 

Observar que la función potencial es de la forma xn, donde n es un racional, por ejemplo: x, x2, x3, x-1 = 1/x, x1/2 = raiz2(x) 'raíz cuadrada de x', x1/3=raiz3(x) 'raíz cúbica de x' etc.

 

Pulsando Inicio y poniendo el parámetro función a 0, se podrá introducir la entrada f(x) y g(x) por las funciones que el estudiante desee, aunque en este caso el programa no comprueba si la entrada de la función derivada es correcto.

 

Nota:  Los operadores algebraicos son suma (+), resta(-), producto(*), división (/), potenciación (^). Para introducir el exponente de la potencia teclear el símbolo ^ que significa "elevado a". La función raíz cuadrada se puede conseguir con x^(1/2) o bien con  sqrt(x). 

2. Funciones logarítmicas, trigonométricas y exponenciales

 

1: f(x)= ln(x) 2: f(x)=log10(x) 3: f(x)=sen(x) 4: f(x)=cos(x)
5: f(x)=tg(x) 6:  f(x)=ex 7: f(x)=2x  
El Nippe del margen izquierdo muestra siete funciones (valor del parámetro función del 1 al 7).

Poniendo el parámetro derivada a 1 se muestra también la derivada de la función.

Para averiguar conocimiento que se tiene de las derivadas de las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, poner el parámetro derivada a valor 0 y seleccionar una función de 1 a 7, después reemplazar la entrada editable g(x) por la supuesta función derivada y poner el parámetro derivada a 1 para comprobar si la entrada de la función derivada ha sido correcta.

Pulsar Inicio y repetir para otra función.

 

Observar que una función exponencial es de la forma y=a^x donde a es la base fijada y distinta de 1.

La función y=e^x es la función exponencial que tiene por base el número irracional 'e' cuyo valor aproximado es 2,718282. El programa interpreta la función y=e^x si le proporcionamos la función exp(x).

Son  funciones trigonométricas admitidas por el programa  sen(x), cos(x) y tan(x).

Observar que el logaritmo de x en base e ó  neperiano  loge(x) se suele representar por y = ln(x) pero al programa hay que proporcionarle la función y=log(x). No confundir esta forma del programa con la que usualmente empleamos para el logaritmo en base 10 o decimal log10(x) que en el programa hay que poner como y = log10(x).

Para representar funciones logarítmicas en base cualquiera a hay que tener en cuenta la relación siguiente:

 loga(x)=loge(x)/loge(a)=ln(x)/ln(a).

Por ejemplo para la función  y = log2(x) habrá que proporcionar al programa la expresión y=log(x)/log(2) 


3. Derivadas de las operaciones suma, producto y cociente de funciones elementales

Se muestran 10 funciones numeradas de 1 a 10. Para ver la función derivada basta poner la entrada del parámetro derivada a valor 1.

Para averiguar conocimiento que se tiene de las derivadas de las operaciones suma, producto y cociente de las funciones elementales, poner el parámetro derivada a valor 0 y seleccionar una función de 1 a 7, después reemplazar la entrada editable g(x) por la supuesta función derivada y poner el parámetro derivada a 1 para comprobar si la entrada de la función derivada ha sido correcta.

Pulsar Inicio y repetir para otra función.

Pulsando Inicio y poniendo el parámetro función a 0, se podrá introducir la entrada f(x) y g(x) por las funciones que el estudiante desee, aunque en este caso el programa no comprueba si la entrada de la función derivada g(x) es correcto.

1: f(x)=x3-3x2+2x+1 2: f(x)=x ln (x) 3: f(x)=x sen(x) 4: f(x)=x ex 5: f(x)=sen(x)+cos(x)
6: f(x)=sen(x) cos(x) 7: f(x)=x / (x+1) 8: f(x)=(x2+1) / (x+1) 9: f(x)=sen(x) / x 10: f(x)=ln(x) / x

4. Ejercicios:

En cualquiera de las escenas anteriores poner el parámetro función a valor 0 y reemplazar g(x) por la derivada de las funciones f(x) siguientes

 

1: f(x)=x^(-5)

2: f(x)=log3(x)

3: f(x)=7^x

4: f(x)=x^3-3*x+7

5: f(x)=x+5/x

6: f(x)=-2/raiz2(x)

7: f(x)=x^3/raiz2(x)

8: f(x)=x*raiz2(x)

9: f(x)=1/sen(x)

10: f(x)=1/cos(x)

11: x^2*ln(x)

12: sen(x)*ln(x)

13: x^2/(2*x+1)

Solución a los ejercicios

 

5. Problemas
En los problemas siguientes indicaremos con (*) aquellos para los que la función a la que hace referencia es una de las que se puede visualizar en los programas anteriores y por lo tanto pueden consultarse para leer el valor de la función f(x) y su derivada f ´(x) en x=a. En cualquier caso es conveniente que el estudiante se asegure que sabe  calcular estos valores sin utilizar el programa.

Como la variable x (parámetro a del programa Descartes) tiene un incremento prefijado, es posible que algunos valores de ésta no se alcancen incrementándolo de forma automática. Siempre se podrá introducir manualmente el valor del parámetro a nuestra conveniencia en vez de hacerlo incrementar automáticamente

1: Calcular el valor de x=a para el cual la derivada de la función

f(x)=x3-3x2+2x+1 (*) toma el valor 1. 

2: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación f(x)=(x2+1) / (x+1)  (*) en el punto de abcisa a=0. Así mismo, determínese los puntos donde la tangente a la curva es horizontal.

3: Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función  f(x)=x ln (x) (*) 

4: Hallar una función de segundo grado sabiendo que pasa por (1,0) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (2,-1) vale 0.

Orientación: llama a la función f(x)=ax2+bx+c y ten en cuenta que según el enunciado f(0)=1, f(2)=-1 y f ´(2)=0.

5: Halla el vértice de la parábola y=x2+6x+11 teniendo en cuenta que en ese punto la recta tangente es horizontal.

6: Averigua que función es y=f(x) que cumple las siguientes condiciones:

a) Su derivada es f ´(x)=3x2+4x+5

b) Pasa por el punto (-2,6)

7:  A las 9 de la mañana surge un rumor en una ciudad que se difunde a un ritmo de e2t+1000 personas por hora, donde t representa el número de horas transcurridas desde la aparición. Calcula el número de personas que lo habrán oído entre las diez y las doce de la mañana.

Orientación: el ritmo de difusión representa la tasa de variación instantánea del número de personas n que escuchan el rumor en función del numero de horas t trascurridas desde la aparición. Si llamamos n(t) a esta función resulta que n´(t) = e2t+1000 de donde es fácil deducir la expresión para n(t)  y por tanto la diferencia n(3)-n(1). El alumnado podrá utilizar el programa Descartes para calcular valores de la exponencial ex(*)

Solución a los problemas


       
           
  Ángel Cabezudo Bueno
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

 

 

 

Soluciones de los ejercicios
  1: -5·x-6=-5/x6

2: 1/(x·ln 3)

3: 7x·ln(7)

4: 3·x2 - 3

5: 1 -  5 / x2

6: 1 / (x·raiz2(x))

7: 3·x·raiz2(x) - x2 / (2·raiz2(x))

 

8: x/(2·raiz2(x))

9: -cos(x) / sen2(x)

10: sen(x) / cos2(x)

11: 2·x·ln (x) + x

12: cos(x)·ln (x) + sen(x) / x

13: (2·x2+2·x) / (2·x+1)2

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Soluciones de los problemas
   

1: a=1+raiz2(6)/3=1,8165; a=1-raiz2(6)/3=0,1835

2: y=-x+1; a=-1-raiz2(2)=-2.4142; a=-1+raiz2(2)=0.4142

3: Decrece en (0,1/e) y crece en (1/e,+inf).  1/e=0.3679

4: f(x)=(-1/3)x2+(4/3)x-1

5: Vértice: (-3,2)

6: f(x)=x3+2x2+5x+16

7: n(t)=0.5e2t+1000t+k (k=constante no conocida).

 n(3)-n(1)=0.5(e6-e2)+2000=2.198 personas

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