Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos: 3x² - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas la ecuaciones de segundo grado para resolverlas.

En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente. Por ejemplo:

Ejercicio 1.- Expresar en la forma más simple y simplificada posible, la ecuación:

3x² - 3x/2 = x/2 - x + 2 + x²

Primero haremos denominador común para eliminar los denominadores existentes. Llegaremos a:

6x² - 3x = x - 2x + 4 + 2x²

Expresando todos los términos en el primer miembro: 4x² - 2x - 4 = 0 y simplificando (dividiendo todo por 2): 2x² - x - 2 = 0.

La expresión del primer miembro de la ecuación, una vez simplificada, corresponde a una función cuadrática, que para el primer ejemplo anterior corresponde a :f(x) ó y=  3x² - 4x + 1

1.-Observa como la gráfica corresponde a una curva que se llama "parábola".

En este caso la parábola corta al eje de abscisas (X) en dos puntos; los valores de la abscisa "x" de dichos puntos serán la solución de la ecuación ya que para ellos y = 0 o sea: 3x² - 4x + 1 = 0 que es lo que deseábamos.

2.-Busca dichos valores de x moviendo el punto destacado sobre la curva o los valores de x en la ventana inferior de la escena (También puedes escribir un valor concreto de x borrando el actual).

3.-Comprueba si has  obtenido como soluciones: x = 1 y x = 0,33 (en realidad x = 1/3).

A las soluciones de la ecuación, también se les llama "raíces" de la ecuación.

Como vimos en la descripción, cualquier ecuación de segundo grado se puede expresar de la forma:

ax² +bx + c = 0

donde a, b y c serán números enteros (positivos o negativos). Para ello bastará obtener el denominador común (si hay denominadores), para eliminarlo y pasar todos los términos al primer miembro.

Sabemos que una vez conseguida dicha forma, las dos "posibles" soluciones de la ecuación son:

Así la ecuación del ejemplo inicial: 3x² - 4x + 1 = 0: tendrá por soluciones:

.Luego 1 y 0,33 son las dos soluciones o raíces de la ecuación.

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones

a)( x²)/2 = x/2 + 3

b) 3x² = 12

2.-Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo ambas ecuaciones ("atención al denominador común en la primera").

3.-Mueve el punto rojo hasta encontrar el punto de corte de la parábola con el eje X. También puedes cambiar los valores de x en la ventana inferior. Los valores de x que obtienes deben coincidir con las soluciones numéricas halladas antes.

4.-Comprueba que en el ejemplo a) del ejercicio  llegas a que: "a = 1" , "b = -1" y "c = -6"con lo que se obtienen las soluciones de la ecuación: x = -2; x = 3.

5.-Comprueba que en el ejemplo  b), las soluciones deben ser x = 2 y x = -2 ("ojo" que en este caso b = 0.). Seguro que esta ecuación también sabes resolverla sin usar la fórmula (decimos que es una ecuación de segundo grado incompleta), basta observar que 3x² = 12 es lo mismo que x² = 4 y por tanto x = raíz cuadrada de 4, o sea 2 o -2. Por tanto:

"Si la parábola corta al eje X en dos puntos, los valores de x en esos puntos son la dos soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado"

1.-Resuelve las siguientes ecuaciones gráficamente. 

a) x² - 2x -1 = 0

b) x² -1/4 = 0

c) 4x² - 4x +1 = 0

("atención a los casos en que la ecuación tiene una sola solución o incluso no tienen ninguna").

2.-Resuélvelas también numéricamente comprobando que las soluciones coinciden.

Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos

Solución: Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa el el lado mayor y llamando "x" al menor de los catetos.

Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple:

Plantea la ecuación necesaria en cada caso para resolver los siguientes problemas. Resuélvelas numéricamente y también gráficamente usando la escena. 

2.- En un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1 cm. cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm² . Calcular las dimensiones y el área del rectángulo inicial.

(Sugerencia: Realiza un dibujo del problema).

Solución: Base = 12 cm. Altura = 4 cm.

3.- Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.

(Solución: 5 , 7, y 9 )

4.- La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

(Solución: 6 y 36)