La ecuación de segundo grado.
Discusión
 
Tipos de soluciones (discusión de las raíces)

1) ECUACIONES CON DOS SOLUCIONES

Ejercicio 1.- La ecuación: 3x2 - 4x + 1 = 0. , resuelta en los ejercicios de la primera parte del tema: (Ecuaciones de segundo grado (1) ), tenía por soluciones: x = 1 y x = 1/3.

Recordemos que en este caso la gráfica que se obtenía a partir de la ecuación (parábola) cortaba al eje X en dos puntos, luego la ecuación tenían dos soluciones.

Observa en la escena adjunta su representación gráfica.

Numéricamente, se observaba que el radicando de la raíz cuadrada de la fórmula era positivo (ver fórmula en "solución general.). A este valor se le llama "discriminante" de la ecuación. Se suele simbolizar por un pequeño triángulo, aunque aquí le llamaremos "D"
En el ejemplo el discriminante D = 16 - 12 = 4 > 0, luego la ecuación tiene dos soluciones.

2) ECUACIONES QUE TIENEN UNA SOLA SOLUCIÓN

Ejercicio 2.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:

x2 - 2x +1 = 0

Al aplicar la fórmula, habrás llegado a la "raíz cuadrada de 0". "el discriminande de la ecuación es 0"

¿Qué significa ahora?.

Como la raíz cuadrada de 0 es 0, se obtiene que x = 2/2 = 1 como "unica solución" de la ecuación. Por tanto en este caso sólo existe una solución.
En la escena adjunta se ve como la parábola sólo corta al eje X en un punto, en el que x = 1. Por tanto:

"Si la ecuación de segundo grado tiene una sóla solución, la parábola corta al eje X en un sólo punto: el vértice de la parábola".
"Si cambias el valor de los parámetro y quieres volver a los iniciales, puedes hacerlo haciendo clic sobre el botón inicio".
3) ECUACIONES QUE NO TIENEN SOLUCIÓN

Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:

x2 + 2x + 2 = 0

Al aplicar la fórmula obtendrás la raíz cuadrada de - 4 (D = - 4) que, "atención" por ser un número negativo, sabes que la raíz cuadrada del mismo no existe.

Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.

Pero veamos gráficamente lo que significa:

Observa la escena adjunta, donde "a", "b" y "c" toman los valores correspondientes (1, 2 y 2 respectivamente).

¿qué observas ahora respecto a la parábola y el eje X ?

Naturamente la parábola no corta a dicho eje y la ecuación no tiene solución.

Ejercicio 4.- Resolver la ecuación: -2x2 +4x - 5= 0

Cambia en la escena el valor de los parámetros. ¡Atención a todos los signos!. Deberás obtener la raíz cuadrada de -24, luego la ecuación tampoco tendrá solución.

Comprueba, cambiando ahora los valores de a, b y c por los correspondientes a este caso (-2, 4 y -5), que la parábola tampoco corta al eje X.

Por tanto:

"Si la ecuación de segundo grado no tiene solución, la gráfica correspondiente no corta al eje X"

RESUMEN

Hemos visto que el número de soluciones de la ecuación de segundo grado depende del signo número que se obtenga dentro de la raíz cuadrada de la fórmula, o sea el signo del "discriminante" de la ecuación, y su valor será:

D = b2 - 4ac. Puede ocurrir:

a) Que el discriminante sea un número positivo (Ejercicio 1 ). En cuyo caso la ecuación tiene dos soluciones.

b) Que el discriminante sea 0 (Ejercicio 2). En cuyo caso la ecuación tiene una única solución.

c) Que el discriminante sea un número negativo (Ejercicios 3 y 4). En cuyo caso la ecuación no tiene solución.

Ejercicios
Ejercicio 5 .- Utiliza la escena, cambiando los valores de los parámetros a, b y c de forma adecuada, para resolver las siguientes ecuaciones gráficamente.
a) x2 - 2x 11 = 0
b) x2 -1/4 = 0
c) 4x2 - 4x +3 = 0

Resuélvelas numéricamente en el cuaderno de trabajo usando la fórmula para comprobar que obtienes las mismas soluciones.

Ejercicio 6.- Utiliza la escena para encontrar ecuaciones de segundo grado (con coeficientes enteros), distintas a las que has resuelto, que tengan dos, una o ninguna solución y escribe dichas soluciones.
Practica cuanto desees cambiando las ecuaciones en la ventana..
Ejercicio 7.- Escribe en tu cuaderno de trabajo al menos dos ecuaciones de cada tipo calculando el valor del "discriminante" y viendo que en cada caso es el que corresponde al número de soluciones de la ecuación.
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  Leoncio Santos Cuervo
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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