Recuerda que la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abcisa correspondiente.

En el ejemplo siguiente observa lo que sucede con la función cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, negativa y cero.

Cambia el valor de la x y observa que sucede cuando la función es creciente, decreciente o alcanza un extremo relativo.

Contesta en tu cuaderno las siguiente cuestiones:

1. Intervalos donde la función es creciente. ¿Cómo es la derivada en esos puntos?

3. Anota los puntos donde la función alcanza un extremo relativo. ¿Cómo es la derivada en esos puntos?

Observación: En la escena 3 de esta página tendremos un ejemplo en el cual f´(a)=0 y en (a,f(a)) no hay un extremo relativo. Lo contrario si es cierto, donde hay extremos relativos la derivada es cero.

Comparemos ahora las gráficas de la función y de la derivada.

Aumenta el valor de la abcisa y observa como se dibuja la función derivada.

Contesta en tu cuaderno las siguientes cuestiones:

4. ¿Qué sucede con la función cuando la gráfica de la derivada está por encima del eje x?.¿Por qué?

5. ¿Qué sucede con la función cuando la gráfica de la derivada está por debajo del eje x?.¿Por qué?

6. ¿Qué sucede con la función cuando la gráfica de la derivada corta al  eje x?.¿Por qué?

Estudiaremos la gráfica de la función f(x)=ax³/3+kx para distintos valores a y k.

Coloca a=1 y k=0 (tenemos la función f(x)=x3/3). Aumenta el valor de la abcisa y observa lo que sucede (la gráfica que se traza es la de f´(x)).

Contesta en el cuaderno las siguientes cuestiones:

7. ¿Dónde es creciente la función?

8. ¿Dónde es decreciente la función?

9. ¿Dónde se anula la derivada? ¿Hay un extremo relativo en dicho punto?

Pero si f´(a)=0 no siempre hay un extremo relativo en x=a.

En la escena pulsa inicio y coloca a=-1 y k=0 (tenemos la función f(x)=-x³/3). Aumenta el valor de la abcisa hasta que se represente la función derivada y contesta las siguientes cuestiones en tu cuaderno:

10. ¿Dónde es creciente la función?

11. ¿Dónde es decreciente la función?

12. ¿Dónde se anula la derivada? ¿Hay un extremo relativo en dicho punto?

Coloca la abcisa en el valor 3 (puedes colocarte sobre la ventana y escribirlo). Cambia los valores de a y k y observa lo que sucede.

13. Haz una tabla con las seis funciones posibles, en la cual se indique donde crecen, donde decrecen, los extremos relativos y los lugares donde la derivada es positiva, negativa y cero.