2.- Si has obtenido una solución, haz lo siguiente: intercambia las dos filas centrales e intercambia las dos columnas centrales. ¿Qué ha pasado? Eso, se ha obtenido una nueva solución (para algunas soluciones, después del primer intercambio se obtiene una solución nueva, pero esto no ocurre para todas). Luego, a partir de 440 soluciones podemos obtener todas las soluciones. Piensa por qué después de intercambiar las filas y las columnas centrales se obtiene una nueva solución.

Los cuadrados mágicos de orden 4 fueron introducidos en Europa en el siglo XV, en El Renacimiento. Durante los dos siglos siguientes se llevaban grabados en una chapa como amuletos, pues se les atribuía poderes mágicos.

Alberto Durero, pintor alemán nacido en Nuremberg, realizó en 1514 el grabado La Melancolía, que se puede ver en el Germanisches National Museum de Nuremberg. En este grabado, Durero pintó, en lugar destacado, el siguiente cuadrado mágico de orden 4:

Este cuadrado mágico tiene algunas propiedades más, es más mágico que otros, algunos los llaman supermágicos y otros, diabólicos. Si sumamos los números de los vértices la suma vale 34; también se obtiene 34 sumando los cuatro número centrales; y también sumando los cuatro números (16, 3, 5, 10) que forman el cuadrado de 2x2 superior izquierdo; ídem con el superior derecho, inferior izquierdo e inferior derecho. Espero que la suerte te acompañe y puedas obtener otros cuadrados mágicos que tengan las misma propiedades que el que pintó Durero. Una curiosidad más: la fecha de la obra La Melancolía se encuentra expresada en las dos celdas centrales inferiores.

Hay muchos cuadrados supermágicos, de las 440 soluciones hay 216 que corresponden a cuadrados supermágicos; y de las 880 soluciones básicas, 432 son de supermágicos.

Para ver si un cuadrado mágico es supermágico basta con comprobar que los números de los vértices suman la constante mágica y que los cuatros números de la esquina superior izquierda suman dicha constante, ¿por qué?

-Tomemos como constante mágica 798. Pongamos en las celdas 1, 2 y 3 los valores 17, 307 y 127 respectivamente. 

-Para saber el valor que le corresponde a la celda 11 debemos realizar la siguiente operación:

2s-2c₁-c₂-c₃-c₅-c₆-c₉

donde s es la constante mágica y c_k es el valor de la celda k. Esta expresión tan extraña ha salido de resolver el sistema de ecuaciones anteriormente reseñado. Lo que queda es fácil de hacer y se deja para el lector. 

El cuadrado mágico de este ejemplo tiene un par de propiedades curiosas: la primera es evidente, se ve a siete leguas; la segunda nos resultará obvia cuando descompongamos en factores los números que forman el cuadrado mágico. Cuando esté construido, comprobar si, además, es supermágico.

2.-Siguiendo las indicaciones que se desprenden del ejemplo descrito se pueden construir muchos cuadrados mágicos. Construye otro en tu cuaderno. Conviene recordar que todos los números que se obtengan han de ser distintos.

Recordar siempre: crear un cuadrado mágico de orden 4 es sencillo; reconstruir uno creado por otro es complicado, pero divertido.