CÓNICAS

excentricidad - coordenadas polares

Las cónicas vistas desde su excentricidad

A partir de la excentricidad, dado un punto fijo F (foco) y una recta fija d (directriz), definimos la cónica como el conjunto de puntos P del plano tal que

d(P,F) = e·d(P,d)

Ecuación de las cónicas en coordenadas polares

Partiendo de la igualdad anterior obtenemos la ecuación en polares de la elipse cuando el polo coincide con uno de los focos y el eje polar con su eje mayor, luego, justificamos la ecuación obtenida para el resto de las cónicas. La expresión polar de una cónica es

donde, k es el parámetro y e es la excentricidad.

La ecuación obtenida es válida para cualquier cónica, según los valores de la excentricidad.

1.- Modificando el valor del ángulo t recorremos la gráfica de la elipse y comprueba que se cumple la definición de cónica, es decir: MF=e·MD, en cualquier punto de la misma.

2.- Determinar los elementos de la elipse: ejes y distancia focal, así como su ecuación cartesiana, a través de la información que nos proporciona el movimiento por la gráfica. (Recordar que el valor del parámetro se puede modificar con las flechas o introduciendo directamente el número que queramos)

Relacionar el tipo de cónica con su excentricidad

El valor de la excentricidad determina el tipo de cónica:

Si e < 1 es una elipse (circunferencia e = 0).

Si e = 1 es una parábola.

Si e > 1 es una hipérbola.

2.- Prueba con valores de excentricidad: 1/3, 1/2, 4/5, 1, 2, 3, y anota, en cada caso, la cónica que tenemos: una elipse, una hipérbola o una parábola. ¿Puede ser la excentricidad negativa?

3.- A pesar de variar la excentricidad la directriz se mantiene inmutable, qué otro valor de la expresión polar de la cónica tiene que modificarse para que se produzca esta circunstancia.

Parámetro de una cónica

En cualquier cónica, la ordenada positiva del punto de la curva cuya abscisa es el foco, es el parámetro k de su ecuación polar, y tiene la expresión

4.- Comprueba que el parámetro de la elipse y el de la hipérbola, es decir, la ordenada positiva del punto de la curva cuya abscisa coincide con la del foco, es k = b²/a.

Excentricidad y elementos de una cónica

Observamos la evolución que experimenta una cónica y sus elementos, cuando varía la excentricidad.

5.- Las cónicas de la gráfica mantienen un parámetro igual a dos, sin embargo, variando la excentricidad se modifican las dimensiones de las mismas. Comprueba en qué medida cambian los ejes y la distancia focal de una cónica cuando variamos la excentricidad.

Autor: Santiago Cortázar Palomo