Sean F y G los focos de una elipse. El ángulo que forma el "rayo incidente" FP con la recta tangente es igual al que forma el "rayo reflejado" GP del otro lado.

2.- Busca en Internet la escena que basándose en esta propiedad escribe Miguel de Guzmán en su libro Cuentos con cuentas.

la siguiente escena  ayuda a entender porqué se cumple la propiedad de reflexión.

Sean F y G los focos de una elipse. Sea P un punto de la elipse y r la recta tangente a la elipse en P. Sea Gr la reflexión de G con respecto a r, es decir, GP y GrP forman el mismo ángulo con la recta r. Se quiere demostrar que FP y GP forman el mismo ángulo con r.

Sea Q un punto arbitrario de r. Entonces

FQ+QG=FQ+QGr>FP+PGr=FP+PG

a menos que Q=P. Esto quiere decir el valor mínimo de la suma FQ+QGr se alcanza cuando Q=P y por lo tanto P está alineado con F y Gr. Entonces los ángulos de FP y PGr con la recta r son iguales, pero como el segundo es igual al que forma GP con r, resulta que FP y GP forman el mismo ángulo con r, que es lo que queríamos demostrar.

Los rayos provenientes de uno de los focos de una hipérbola se reflejan de manera que los rayos reflejados parecen provenir del otro foco.

Sean F y G los focos de una hipérbola. La siguiente escena muestra un punto P sobre la hipérbola y la recta tangente a la hipérbola en P. El ángulo que forma el "rayo incidente" FP con la recta tangente es igual al que forma el "rayo reflejado", el cual es una prolongación del segmento GP, es decir, el rayo reflejado parece provenir del segundo foco G.

1.- Mueve el punto  P sobre la hipérbola y observa cómo los rayos provenientes del foco F se reflejan y parecen proceder de G. 

La siguiente escena muestra una hipérbola con focos F y G y un punto P de ella. 

1.- Escribe en  tu cuaderno y entiende los pasos de la siguiente demostración.

Sea Gr un punto de la recta FP que dista de P lo mismo que G y sea r la recta formada por los puntos equidistantes de G y Gr. Entonces, de las propiedades de los lados del triángulo FQGr, se deduce que para todos los puntos Q de la recta,

FQ-QGr<=FGr=FP-PGr

y la igualdad sólo ocurre cuando Q=P. Esto demuestra que el único punto de la recta r que toca a la hipérbola es P, por lo cual r es la recta tangente a la hipérbola en P. De aquí se deduce que el ángulo FPr es igual al ángulo rPG, que es la propiedad de reflexión de la hipérbola que queríamos demostrar.

1.- Sea F el foco de parábola. La siguiente escena muestra un punto P sobre la parábola y la recta tangente a ella en P. Observa que el ángulo que forma el "rayo incidente" FP con la recta tangente es igual al que forma el "rayo reflejado", el cual es paralelo al eje de simetría de la parábola.

1.- Escribe en  tu cuaderno y entiende los pasos de la siguiente demostración.

Sea d la directriz de la parábola y sea P´ el punto de la directriz cuya distancia a P es mínima. Por las propiedades de la parábola se tiene que PP´=PF. Sea t la recta de los puntos equidistantes de F y P´. Entonces t pasa por P. Para un punto cualquiera Q de t, sea Q´ el punto en d más cercano a Q. Entonces P´Q>=Q´Q y la igualdad ocurre solo cuando Q=P. Esto demuestra que t solo toca a la parábola en el punto P. Por lo tanto t es la recta tangente a la parábola. Pero como el ángulo FPt es igual al ángulo tPP´, resulta que la reflexión de FP respecto a t es perpendicular a la directriz d y por lo tanto es paralelo al eje de simetría de la parábola, que es lo que se quería demostrar.