Les 17 types de pavage (1)

Noms des 17 types utilisés en cristallographie,
cliquer chaque type pour l'animer.

p1	p2	p3	p4	p6	pg ou pg2	pgg	pm	cm
pmg	pmm	cmm	p4g	p3m1	p31m	p4m	p6m

 

Un exemple : le type p6m

PLEIN ECRAN

 

Les 17 types : un algorithme de reconnaissance
Le cristallographe et mathématicien russe Fedorov a montré en 1891 (Université de Saint-Petersbourg), qu'il n'existe que 17 types de pavage du plan. Ces types sont classés suivant l'agencement des rotations et des symétries qu'on peut y trouver. Ils constituent ce que l'on appelle les groupes cristallographiques par analogie avec les groupes conservant les cristaux dans l'espace euclidien à 3 dimensions. Les noms proposés ici correspondent au nom utilisé en cristallographie.
Il existe toujours une isométrie qui amène un pavé sur un autre pavé quelconque, mais qui de plus conserve l'ensemble du pavage. Ce pavage s'étend à l'infini ; il existe des translations dans des directions différentes. On peut caractériser, en partie, le pavage en décrivant son groupe. Ce groupe contiendra toujours des translations dans plusieurs directions, mais aussi des rotations, des symétries axiales, des symétries glissées.
Les arabes ont développé de très beaux pavages géométriques. En effet, ils ne devaient pas représenter Allah et ont puisé leur inspiration dans la géométrie. Ils ont créé en Andalousie de merveilleux chefs d'oeuvre pour décorer palais et mosquées en utilisant toutes les dispositions possibles. Ce sont de vrais précurseurs dans le domaine des pavages.

P our reconnaître la famille d'un pavage on peut suivre l'algorithme suivant.

Le pavage est-il identique à son reflet dans le miroir ?
NON	Angle minimal de rotation ?
	0	Parallélogramme asymétrique	p1
	180°	Parallélogramme symétrique	p2
	120°	Hexagonal 3-rotatif	p3
	90°	Carré 4-rotatif	p4
	60°	Hexagonal 6-rotatif	p6
	Nombre de directions d'axe de symétrie ?
OUI		Y-a-t-il des rotations entre les mailles ? Si oui de quel angle ?
	0	0		Rectangulaire glissant	pg ou pg2
		180°		Rectangulaire biglissant	pgg
	1	0	Glissage ? non	Rectangulaire monosymétrique	pm
		0	Glissage ? oui	Rhombique monosymétrique	cm
		180°		Rectangulaire glissant symétrique	pmg
	2	0		Rectangulaire bisymétrique	pmm
		180°		Rhombique bisymétrique	cmm
		90°		Carré 4-rotatif glissant	p4g
	3	0		Hexagonal tri-symétrique	p3m1
		60°		Hexagonal 3-rotatif symétrique	p31m
	4			Carré totalement symétrique	p4m
	6			Hexagonal totalement symétrique	p6m

 

 

(1)  Voir aussi RAOUL RABA Les secrets des pavages editions Sciences & Images
A.DELEDICQ R.RABA Le MONDE DES PAVAGES ACL - éditions du Kangourou