• Las primeras investigaciones conocidas de la geometría son debidas a los Egipcios y a los Babilonios (2000 años antes de nuestra era.)
  

  Las inundaciones periódicas del Nilo obligaban a los agrimensores egipcios a rehacer cada año el trazo de las propiedades. Las fórmulas utilizadas eran empíricas: Así el área de un cuadrilátero de lados a, b, c, d estaba dada por (a + c)/2 x (d + b)/2 Este último resultado no era de hecho más que una aproximación. La fórmula llegaba a ser exacta para un rectángulo. Del mismo modo el área de un triángulo isósceles de lados a, a, b estaba dada por (a x b)/2. Fórmula que es falsa en todos los casos pero llega a ser una bastante buena aproximación si el triángulo isósceles tiene un ángulo muy agudo.

  Estas informaciones provienen de un papiro, llamado papiro de Rhind (manual de cálculo del escriba Ahmès) que data de 1700 a 2000 años antes de nuestra era.
• Sin embargo se ha constatado que los Egipcios conocían el volumen del tronco de pirámide y la superficie de la esfera.
  Se han encontrado también sobre tablillas babilonias (2000 antes de nuestra era) una serie de problemas referentes a la resolución de ecuaciones de segundo grado e incluso de ecuaciones bicuadradas.

Los conocimientos matemáticos de los Egipcios y de los pueblos orientales perviven en Grecia merced a intercambios comerciales.

La tradición atribuye a Thales (600 años antes de nuestra era) la introducción en Grecia de la geometría egipcia. Thales fue un precursor sobre todo preocupado de problemas prácticos (cálculo de alturas de monumentos con ayuda de un bastón y de la proporcionalidad de las sombras). La geometría griega que fue un éxito asombroso de la ciencia humana dando  pruebas de un ingenio excepcional, estuvo marcada por dos Escuelas : la de Pitágoras y la de Euclides.

 

• Geometría Pitagórica: Escuela de Crotona
  

  Pitágoras fue un filósofo griego que nació en Samos hacia el 580 antes de nuestra era y murió hacia el 500 antes de nuestra era. Viajó a Egipto y se instaló en Crotona en Italia donde fundó una escuela célebre. Debemos a la escuela de Crotona un nuevo arranque en la investigación geométrica.

  
  En esta época los conceptos de punto, línea y superficie eran particulares:
  • El punto no era el punto sin dimensión, era un ser concreto, llamado mónada, materializado por un grano de arena.
  • La línea era entonces una sucesión de mónadas cuyo número daba la medida.
  • Todas las longitudes eran pues conmensurables.

   El teorema de Pitágoras iba a arruinar la geometría construida sobre el concepto de mónada.
  En efecto si se considera un triángulo rectángulo isósceles cuya razón de la hipotenusa con el lado del ángulo recto es m/n tal que m y n sean primos entre sí, el teorema permite establecer:
  m² = 2 n² de donde se deduce que m es par (*1)
  Sea  m²  un múltiplo de 4
  así  n² es par
  ¡entonces n es par!
  lo que contradice hipótesis de que m y n son primos entre sí.
  El hecho de darse cuenta de que existían longitudes inconmensurables modificó fundamentalmente la geometría de la época. (*2) 

 

• Geometría Euclídea : Escuela de Alejandría
  

  Fundada en el 331 antes de nuestra era por Alejandro el Grande, la ciudad de Alejandría llegó a ser rápidamente bajo la protección de los Ptolomeos, el centro intelectual del mundo antiguo. Los matemáticos fueron particularmente formados allí y la célebre Escuela matemática de Alejandría conoció tres representantes excepcionales: Euclides, Arquímedes y Apolonio.

  Los trabajos de esta escuela desembocaron en una obra que durante más de 20 siglos sirvió de base a todo estudio geométrico: les Elementos. Est obra está compuesta de 15 libros de los que 13 se debieron a Euclides (300 antes de nuestra era).
  Estos 13 libros tratan de las figuras geométricas, de los polígonos inscritos y circunscritos en un círculo y sus propiedades, de las proporciones, de la similitud, de la geometría en el espacio así como de la teoría de los números y de los inconmensurables.
  Arquímedes (287-212 antes de nuestra era) completó los Elementos por un estudio muy profundo sobre los círculos, las esferas y los cilindros... Dio una aproximación del número PI:
  3 + 10/71 < Pi < 3 + 1/7 esto es 3.1408 < Pi < 3.1428
  Con el estudio de las cónicas por Apolonio (200 antes de nuestra era) tenemos el conjunto de la geometría elemental tal como era enseñada hace algunos años. (*3)

 

La decadencia griega coincide con un largo periodo de tiempos obscuros para las matemáticas en general y la geometría en particular... hasta el siglo XV, comienzos del Renacimiento.
Podemos, en este largo periodo de inmovilismo y casi de regresión científica, recordar dos factores:

• La civilización romana que siguió a la civilización griega estaba volcada hacia la conquista militar, la administración civil, la adquisición de riquezas y la construcción de monumentos gigantescos, en detrimento de la ciencia y del humanismo... En el 529 (después de Cristo) el Emperador romano Justiniano, como sanción a una enseñanza pagana hizo cerrar las escuelas de Atenas.
• La gran biblioteca de Alejandría ardió en varias ocasiones. (*4)
  Debido a la unicidad, al número y a la riqueza de las obras desaparecidas, esto representa una perdida considerable para la humanidad.

Hasta el siglo XIII solamente los Arabes y los Hindúes impidieron que la regresión científica tomase una amplitud que hiciera caer en el olvido los maravillosos trabajos de los Griegos. En este periodo, en efecto, son los sabios de la cultura árabe quienes son los herederos de Grecia y los promotores del conocimiento. Son ellos cuyas obras, una vez traducidas al latín, van a desencadenar en Occidente el gran movimiento de pensamiento que desemboca en la brillante expansión del siglo XIII. Desde entonces, son los filósofos y los investigadores de los países de la cristiandad, quienes toman la iniciativa.

Con el Renacimiento y la invención de la imprenta comenzó un periodo de intensa actividad para el desarrollo de las ciencias en general y de las matemáticas en particular. Esta actividad se continua hasta nuestros días a veces ralentizada por las guerras y las invasiones.

Hasta el siglo XVII se admitía en líneas generales que la geometría se ocupaba de las figuras del espacio y que el álgebra se interesaba por los números.

En 1637 Descartes asoció estas dos nociones al crear el concepto de referencia. ¡ La geometría analítica había nacido ! Esta aportó una riqueza nueva a las matemáticas contribuyendo entre otras a las teorías de Newton y Leibniz para desembocar en la de la relatividad de Einstein.

Cantor, Hilbert, Galois así como muchos otros aportaron por fin a las matemáticas unos cimientos diferentes en el siglo XIX, creando un  nuevo pensamiento, una nueva luz, cuyas repercusiones en nuestros días son conocidas con el nombre de Matemáticas Modernas...

    

(*0) Fuentes
La Science antique et médiévale bajo la dirección de RENE TATON 1957 editions PUF
Civilisation grecque d'Euripide à Alexandre de André Bonnard 1991 éditions complexe

(*1) Se debe a la escuela de Crotona la demostración:
"Si el cuadrado de un número a es par, entonces a es par".
Esto es (a² par => a par)

(*2) "Medir una magnitud, es asociarle un número que exprese su relación con otra de la misma especie elegida como unidad"
MEDIDA = APLICACIÓN en un conjunto de NÚMEROS  m: a |----> m(a) tal que m(u) = 1 
Este número es entero si la magnitud es múltiplo de la unidad; fraccionario en caso de conmensurabilidad; irracional en los otros casos"

(*3) Uno de los seis axiomas fundamentales de los Elementos:
"El todo es más grande que la parte "
fue invalidado por Cantor (1870) en su estudio sobre el transfinito, lo que dio lugar a un nuevo pensamiento matemático enseñado en nuestros días.

(*4) En el 47 a. C., en el transcurso de la guerra civil entre Julio César y los partidarios de Pompeyo, un incendio destruyó a la flota egipcia y se extendió a ciertos depósitos de la biblioteca, destruyendo unos 40 000 volúmenes.
Según la leyenda, la biblioteca de Alejandría fue destruida por el fuego en tres asaltos :
            por el emperador romano Aurelio en el 272 a. C.,
            por el emperador Teodosio I en el 391
            y por el califa Omar I (hacia el 581-644) en 640.
(Según la Enciclopedia Encarta 97)