Rectángulos recíprocos

Gnomon

Fundamentos del modelo matemático
 

9. Rectángulo asociado a un polígono regular
Definición: "Un polígono se dice que es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales".

Observación 1: Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia.

Observación 2: A cada polígono regular podemos asignarle un rectángulo cuyos lados son el radio de la circunferencia circunscrita y el lado del polígono.

9.1 Razón de los rectángulos asociados a polígonos

  • Varía el parámetro N, correspondiente al número de lados de un polígono regular y anota la razón del rectángulo asociado.
  • ¿Por qué inicialmente decrece la razón y es creciente posteriormente?
  • ¿Cómo se denomina el rectángulo correspondiente al cuadrado (N=4)?
  • ¿Cómo se denomina el rectángulo correspondiente al hexágono (N=6)?
  • ¿Cómo se denomina el rectángulo correspondiente al octógono (N=8)?
  • ¿Cómo se denomina el rectángulo correspondiente al decágono (N=10)?
     

9.2 ¿Está asociado "tu rectángulo" a algún polígono?

  • ¿Todo rectángulo está asociado a un polígono regular? Justifica tu respuesta.

  • ¿Qué rectángulos asociados a polígonos tienen una razón más proxima a "tu rectángulo"?

 

9.3 Determinación analítica de proporciones.

  • Determina analíticamente, para un número arbitrario de lados, la longitud del lado de un polígono regular en función del radio de la circunferencia circunscrita a él.

  • A partir de la expresión anterior halla la razón entre el radio y el lado del decágono regular o proporción áurea.

  • A partir de dicha relación halla la razón entre el radio y el lado del octógono regular o proporción cordobesa.

 

10. Rectángulos semejantes recíprocos
Definición: "Dado un rectángulo diremos que un rectángulo semejante a él es su recíproco si el lado menor del primero es el lado mayor del segundo o viceversa"

10.1 Recíproco de un rectángulo.

  • Fija una razón o proporción y desplaza el punto P hasta que obtengas otro rectángulo con igual razón.
    Ayúdate con los pulsadores inferiores para ajustar la posición de dicho punto y alcanzar la razón buscada
  • ¿Cuántos rectángulos son recíprocos de uno dado?
   

10.2 Ángulo entre la diagonal de un rectángulo y la de su recíproco

  • ¿Qué ángulo forma la diagonal de un rectángulo y la de su recíproco?

  • ¿Cual es el procedimiento para dibujar el recíproco de un rectángulo?

  • ¿Dibuja los rectángulos asociados a los polígonos de 4, 6, 8 y 10 lados y determina sus recíprocos?

Teoría del gnomon

 

Observación 1: La teoría del gnomon o de la expansión gnómica tiene su base en la frase de Aristóteles: "Hay ciertas cosas que no sufren alteración salvo en magnitud, cuando crecen ..."

Observación 2: El crecimiento gnómico se manifiesta en los tejidos más consistentes de los animales como los huesos, dientes cuernos o conchas. El crecimiento es acumulativo manteniendo la forma (semejanza) frente a los tejidos blandos que son desechados y reemplazados.

 
   
Definición: "El gnomon de un rectángulo es otro que añadido al primero genera otro rectángulo semejante al inicial".

Observación 3: El gnomon de un rectángulo es el rectángulo necesario para obtener su recíproco

 
     

10.3 Gnomon de un rectángulo

  • Halla el recíproco del rectángulo raiz cuadrada de dos

    • ¿Cual es su gnomon? El gnomon de este rectángulo tiene una aplicación técnica muy importante, ¿cuál es?

    • Coge un papel, mide sus lados y determina su razón. ¿qué relación tiene esto con la pregunta anterior?

    • Indica un procedimiento gráfico rápido para obtener el recíproco del rectángulo raiz de dos.

  • Halla el recíproco de un cuadrado. Determina su gnomon.

  • Halla el recíproco del rectángulo áureo. ¿Cual es su gnomon? ¿Si dispones de un compás podrías hallar el recíproco de un rectángulo áureo? ¿Qué propiedad aplicas?

 
   

11. Construcción gnómica
Observación: Dado un rectángulo se puede repetir indefinidamente su construcción gnómica

11.1 Construcción gnómica

  • Selecciona una razón y el número de rectángulos recíprocos que deseas dibujar. Mediante la tecla "Animar" podrás observar la construcción gnómica.
   
   
11.2 Identificación de rectángulos áureos
  • Observa la pintura de Dalí que se adjunta e identifica los rectángulos áureos.
  • Mira bien el anexo a la taza de cinco metros de longitud que, en el título de la obra, el autor denomina ¿inexplicable ? ¿Consideras que es inexplicable? o como buen crítico matemático eres capaz de darle una razonada explicación.
  • ¿Todavía no te has construido un cartabón áureo y otro cartabón cordobés? Recuerda que con ellos podrás identificar rápidamente los rectángulos áureo y cordobés. Ahora es el momento oportuno para dar explicaciones.
 

Construcción gnómica con el rectángulo áureo

Dalí

"Semitaza gigante volando con anexo

inexplicable de cinco metros de longitud"

En la figura adjunta sobre la pintura original se han superpuesto los rectángulos (cuyos lados son de color rojo) y que están identificados por las letras desde la A a la N.

Podemos observar como el genio de Dalí usa la construcción gnómica del rectángulo áureo buscando obtener la proporción divina, la belleza autogenerando belleza.

Los rectángulos áureos son: ABCD, ABEF, AGHF, IJKF, JHKN, MJNL

     
11.3 Identificación de rectángulos cordobeses
  • Observa la pintura de Rothko que se adjunta e identifica los rectángulos cordobeses.
  • Compruébalo con tu cartabón cordobés
 

Construcción gnómica con el rectángulo cordobés

Mark Rothko, 1956. Naranja y amarillo

 

¿Qué indujo al pintor a utilizar esa proporción y no la áurea?

¿Divino versus humano?

 

     
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  José R. Galo Sánchez
 
© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2004
 

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