ECUACIONES Y SISTEMAS logarítmicos
Álgebra
 

1. DESCRIPCIÓN

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logaritmo. Por ejemplo:log(x+6) = 1 + log(x-3)

"Puede ser conveniente repasar el tema: Función logarítmica, antes de continuar"

El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación.

La forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo, por lo que en este tema vamos a simbolizar los logaritmos como log, entendiendo que la base es 10, mientras no digamos lo contrario.

Recuérdese no obstante que en las escenas (ventanas gráficas), el programa llama "log" al logaritmo neperiano y "log10" al decimal. En la resolución gráfica de los ejercicios se usará por tanto log10.

Ejercicio 1.- Copia en tu cuaderno como se resolvería una ecuación de la forma log(x+6) = log(2x-1).

Parece lógico que para que esta ecuación sea cierta, debe ser: x + 6 = 2x - 1 o sea x = 7.

Hemos resuelto la primera ecuación logarítmica. Muy sencilla en este caso, pero que nos proporciona el método para resolverlas todas. Enseguida lo veremos.

Para resolverlas numéricamente, como veremos enseguida, se pueden clasificar, en general, en dos tipos:

2.1. RESOLUCIÓN GRÁFICA. EJEMPLO 1

Ahora veamos gráficamente la solución de la ecuación. Como en todas las ecuaciones con una incógnita, se pueden utilizar dos métodos:

1º Iguala a 0 la ecuación y , representa en el programa la ecuación (que es una función)y =....primer miembro.... Los valores de x de los puntos de corte con el eje X serán las soluciones. Este es un método

2º Representa las funciones correspondientes a los dos miembros de la ecuación y los valores de x de los puntos de corte serán las soluciones. Seria el segundo método

3.-Utiliza el primer método para hallar la solución de la ecuación y observa que el proceso seria: log(x+6) - log(2x-1) = 0, luego representamos y = log(x+6) - log(2x-1).

"El valor de "x" del punto de corte de la gráfica obtenida con el eje X es la solución de la ecuación"

Enseguida observarás que es x = 7. 

4.-Observa  en la escena  la recta que corta al eje X en el mismo punto ( con x = 7). Se trata de la que representa a la ecuación:      x + 6 = 2x - 1, o sea:  y = x+6 - (2x-1), lo que confirma lo correcto del método. Este método gráfico nos servirá para resolver cualquier ecuación logarítmica.


2.2  RESOLUCIÓN GRÁFICA. EJEMPLO 

 Escribe en las ventanas correspondientes de la escena siguiente las ecuaciones, de manera adecuada, para resolver la siguiente ecuación logarítmica, tanto usando los logaritmos como no.

log(x2+2x) = log(3) (Deberás encontrar dos soluciones).


3. RESOLUCIÓN NUMÉRICA (CASO GENERAL)

El método para resolver numéricamente las ecuaciones logarítmicas se basa en el ejemplo del ejercicio 1. Se trata de conseguir por tanto una ecuación del tipo log(...) = log(...). Para ello se deben tener muy claras las propiedades de los logaritmos que remarcamos a continuación:

A partir de la definición de logaritmo de un número (a) en una cierta base (b): logb(a)=n de forma que bn=a., se deducen las propiedades de los logaritmos. Destacamos aquí las más importantes para resolver las ecuaciones logarítmicas.

  • log A + log B = log (A·B) (permite agrupar en un sólo término una suma de logaritmos)

  • log A - log B = log(A/B) (permite agrupar en un sólo término una diferencia de logaritmos)

  • n·log A = log An. (que se usará si es necesario antes que las dos anteriores). En este caso téngase en cuanta que si "n" es un número fraccionario, dentro del log quedará una raíz.

  • n = log 10n (y en particular: "0 = log 1"; 1 = log 10 )

Usando estas propiedades se suelen resolver las ecuaciones logarítmicas más frecuentes.

1.- Resolver, en el cuaderno de trabajo, la ecuación propuesta al principio: log(x+6) = 1 + log(x-3).

2.-Resuelve gráficamente en la escena  esta ecuación, cambiándola en la ventana correspondiente"

Puedes usar el primero o el segundo método de los expuestos al principio.

3.-Si no supiste resolverla lee atentamente los pasos seguidos para hacerlo:

 log(x+6) = 1 + log(x-3) ; log(x+6) = log 10+ log(x-3) ; log(x+6) = log 10(x-3). 

Con lo que ya está la ecuación reducida a la forma adecuada y la solución será la misma que la de la ecuación: x+6 = 10(x-3) que es x = 4.

4.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la ecuación: log 2 + log (11 - x2) = 2 log(5-x)

(Deberás llegar a la ecuación de segundo grado: 3 x2-10x+3 = 0).

(Utiliza la escena  para obtener la solución en forma gráfica).


4.-VALIDEZ DE LAS SOLUCIONES

En algunos casos algunas de las soluciones que se obtiene para una ecuación logarítmica pueden no ser válidas. Veamos:

1.- Resuelve la ecuación log (3 - x2) =log 2 + log x

2.-Si representamos la ecuación y = log (3 - x2) - log 2 - log x en la siguiente escena ¿qué se observa? ¿qué soluciones tiene la ecuación?

3.-Fíjate en la gráfica azul (ecuación con logaritmos) y observa que  sólo corta al eje X en en punto (solución x = 1), mientras que la ecuación que se obtiene al agrupar log (3 - x2) =log 2x, que da lugar a la ecuación: 3 - x2 =2x, que representamos como: y = 3 - x2 -2x      tiene dos soluciones una la ya obtenida x = 1 y otra x = -3. ¿Porqué no hemos obtenido la solución x = -3 en la ecuación con logaritmos?.

4.-Sustituye el valor (-3) en la ecuación inicial, Obtendrás: log(-6) = log2 + log (-3) pero los logaritmos de números negativos  no existen.  Por tanto:

"En algunas ecuaciones logarítmicas podemos obtener soluciones numéricas que no son válidas, lo que nos obliga a comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación inicial para decidir sobre su validez"

Naturalmente el método gráfico que hemos visto evita esta comprobación ya que sólo obtiene las soluciones válidas.

5.- Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo, comprobando la validez de las soluciones, y después gráficamente en la escena anterior, las siguientes ecuaciones:

a) 2log(x) - log ( x2 - 6) = 1

b) log (5x+4) - log 2 = (1/2) log(x+4)


5.-resolución de sistemas

Los sistemas de ecuaciones logarítmicas se resuelven esencialmente igual que las ecuaciones, actuando sobre cada ecuación igual que hemos hecho y resolviendo el sistema (ya sin logaritmos que se obtenga). Por ejemplo:

1.- Resuelve el sistema de ecuaciones logarítmicas:

x - y = 9

log x + log y = 1

Observa que en este caso la primera ecuación ya no tiene logaritmos y la segunda se reduce fácilmente a x·y = 10, y 

Resolviendo el sistema resultante se obtienen como soluciones: x = 10; y = 1

Gráficamente bastará escribir ambas ecuaciones (en la forma en que aparecen en la parte inferior de la escena) y el valor de "x" del punto de corte será la solución.

 

(En este caso no representamos las ecuaciones algebraicas (sin logaritmos) ya que se podría producir confusión con tantas gráficas, aunque se representarían como antes)

"Si se desea ver más sobre resolución gráfica de sistemas de ecuaciones ver el tema "ecuaciones y sistemas".

Nota: Debe tenerse en cuenta que no siempre al representar gráficamente ecuaciones en dos variables x e y, con logaritmos, podemos obtener la curva de forma clara, debido a los problemas de existencia de la función logarítmica. Téngase también en cuenta que en algunos casos de debe elegir la escala adecuada, ¡normalmente reducirla!"

Ejercicio 8.- Resolver numéricamente el siguiente sistema y comprobar gráficamente la solución en la escena anterior.

log(x) - log(y) = 1

x + y = 22


       
         
  Leoncio Santos Cuervo
 
© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2001
 
 

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