ECUACIONES EXPONENCIALES

Descripción

Tipo 1

Tipo 2

Sistemas de ecuaciones exponenciales

DESCRIPCIÓN

Se llaman ecuaciones exponenciales a las ecuaciones en las que en algún miembro aparece una expresión exponencial (potencia de base constante (número) y exponente variable (x, y, etc). Por ejemplo:

_{a) 3}2-x² _{= 3}

b) 4^2x+1 = (0,5)^3x+5

c) 2^x-1 + 2^x + 2^x+1 = 7

d) e^x - 5e^-x + 4e^-3x =0.

Incialmente, como en cualquier ecuación, se trata de encontrar algún valor de x que cumpla la igualdad.

En casos sencillos, eso se puede lograr por simple observación. Por ejemplo, si se nos plantea la ecuación:

2^x = 4, evidentemente el valor x = 2 es una solución. Claro que no siempre será tan sencillo.

Pero veamos ya gráficamente lo que esto significa

Si representamos la función exponencial y = 2^x y la recta y = 4, el valor de "x" del punto de corte de ambas gráficas será la solución de la ecuación.

Obsérvalo en la siguiente imagen:

Pero las cuatro ecuaciones que se ponen como ejemplo al principio no tienen una solución tan evidente.

Gráficamente se pueden resolver de forma idéntica a como hemos visto para 2^x = 4. Basta representar las dos funciones dadas por los dos miembros de la ecuación y la "x" del punto de corte será la solución.

"También se podrían resolver gráficamente consiguiendo que en la ecuación el segundo miembro sea 0 y representando la función correspondiente al primer miembro. Los puntos de corte con el eje X serían las soluciones"

Para resolverlas numéricamente, como veremos enseguida, se pueden clasificar, en general, en dos tipos:

TIPO 1

Corresponden a este tipo los dos primeros ejemplos:

₃2-x² _{= 3}

4^2x+1 = (0,5)^3x+5

En ambos casos, a diferencia de los otros dos, se observa que los dos miembros de la ecuación contienen un sólo término ("no hay sumas").

Comprobemos gráficamente la solución.

En la siguiente imagen se observa cómo la primera ecuación tiene dos soluciones: x = 1 y x = -1.

Ejercicio 1.- Cambia las dos ecuaciones en las ventanas inferiores y comprueba que la segunda ecuación sólo tiene una solución: x = -1.

"Atención a la forma de escribir las funciones en el programa. Por ejemplo (0,5)^3x+5 se escribiría: 0.5^(3*x+5)"

Solución numérica

Numéricamente, estas ecuaciones se resuelven consiguiendo que ambos miembros estén expresados como potencias de la misma base e igualando posteriormente los exponenetes. Para ello hay que tener muy presentes las propiedades de las potencias.

Así, en el ejemplo segundo anterior se procedería como sigue:

4^2x+1 = (0,5)^3x+5 ; 2^2(2x+1) = (1/2)^3x+5; 2^4x+2 = 1/2^3x+5 ; 2^4x+2 = 2^-(3x+5) ; 2^4x+2 = 2^-3x-5, con lo que igualando los exponentes se obtiene la ecuaciòn:

4x+2 = -3x-5, cuya solución es ya sencilla: 7x = -7; y finalmente x = -1 como ya habíamos comprobado.

Nota: La solución de la ecuación obtenida al igualar los exponentes, también se puede ver gráficamente (verlo si se desea en el tema "resolución de ecuaciones").

Ejercicio 2.- Resolver numéricamente la ecuación siguiente, comprobando que coincide con la solución gráfica anterior.

₃2-x² _{= 3}

TIPO 2

Se trata de ecuaciones exponenciales en las que en algún miembro aparece una suma de expresiones exponenciales que no se puede realizar. Es el caso de las ecuaciones c) y d) del principio.

Gráficamente se pueden resolver como en el caso anterior representando cada miembro de la ecuación como se ve en la pantalla siguiente con la ecuación: 2^x-1 + 2^x + 2^x+1 = 7, donde se observa que la solución es x = 1.

Desde luego, la gráfica que resulta de representar como función cada miembro de la ecuación no resulta conocida y muchas veces puede que en la ecuación haya números grandes y la gráfica no se vea con claridad. Puede ser el caso de la ecuación 2^x+1 +4^x+1 = 520 , que no es difícil de encontrar. En este caso se puede optar por "pasar todo al primer miembro" como se ha apuntado antes. Además:

Vamos a ver cómo resolverla numéricamente:

Solución numérica

Supongamos la ecuación 2^x-1 + 2^x + 2^x+1 = 7. Se trata de conseguir que todas las expresiones exponenciales sean iguales y lo más sencillas posibles. En este caso 2^x, para lo que basta usar adecuadamente las propiedades de las potencias:

2^x/2+ 2^x + 2·2^x = 7 .

Conseguido esto llamamos a 2^x = z con lo que nos queda la ecuación z/2 + z + 2z = 7; ecuación de primer grado que sabemos resolver (Ver el tema de ecuaciones si se desea).

Una vez resuelta se obtiene z = 2, con lo que volviendo al cambio realizado: 2^x = 2. Ecuación exponencial del tipo que hemos trabajado antes, cuya solución es x = 1.

Ejercicio 3.- Resuelve, utilizando la pantalla gráfica siguiente, la ecuación d) del principio:

d) e^x - 5e^-x + 4e^-3x =0.

Resuélvela también numéricamente y utiliza la escena, escribiendo las ecuaciones que debes resolver numéricamente.

Habrás obtenido una solución clara: x = 0 y otra no entera x = 0,67 aproximadamente, que numéricamente se obtiene de resolver e^x = 4 ¿sabrás calcular x usando logaritmos?. En realidad si te fijas x = ln 4. También puedes usar la escenaa para resolverla..

Ejercicio 4.- Utiliza esta escena y resuelve numéricamente las ecuaciones:

_{e) 3}1-x² _{= 1/27 .......}f) 5^x+1 + 5^x = 750........g) 4^x - 2^x = 2...... h) 9^x - 2·3^x+2 + 81 =0.

SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

Como el nombre indica, son sistemas de ecuaciones donde una o más de ellas son de tipo exponencial.

Los métodos de resolución numéricos son idénticos a los expuestos para las ecuaciones.

Gráficamente basta respresentar las ecuaciones correspondientes que se pueden escribir tal y como se nos presentan.

Ejercicio 5.- Resolver numéricamente el sistema de ecuaciones siguiente y comprobar gráficamente la solución.

2^x - 3^y-1 = 5

2^x+1 + 8·3^y =712

Representamos en la siguiente escena las dos ecuaciones y observamos que la solución es el punto (5,4), luego la solución del sistema es x = 5; y = 4.

Ejercicio 6.- Resolver numéricamente y gráficamente (cambiando las ecuaciones en la escena anterior), el sistema de ecuaciones exponenciales:

2^x + 5^y = 9

2^x+2 - 5^y+1 = - 9 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .Sol: x = 2 ; y = 1

Autor: Leoncio Santos Cuervo

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