TEOREMAS DE BOLZANO Y DE WEIERSTRASS

3.- TEOREMA DE WEIERSTRASS

A) ENUNCIADO DEL TEOREMA.  

Teorema de Weierstrass: Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b] y es continua en [a, b], entonces, f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b].

B) JUGANDO CON EL TEOREMA. EJERCICIOS.

La primera escena es como la primera de la hoja del teorema de Rolle a la que se ha añadido un control llamado y (círculo verde con interior rojo) que mueve una recta horizontal verde (de la que tenemos su "altura"), que nos permite ver en qué puntos se alcanzan el máximo o el mínimo y cuál es el valor de éstos, aproximadamente.

Observaciones.

i) Todas las funciones representadas en esta escena son derivables y por tanto continuas en toda la recta real y, en particular, en cualquier intervalo cerrado. Por ello, todas estas funciones cumplen la hipótesis del teorema de Weierstrass y por ello la tesis, es decir, todas ellas tienen un máximo y un mínimo en cualquier intervalo cerrado.

Ejercicios.

a) Prueba con varias funciones (y varios intervalos cerrados) de la primera escena y comprueba que cumplen la tesis, es decir, que alcanzan el máximo y el mínimo en cualquier intervalo cerrado; a veces será en los extremos del intervalo.

Naturalmente, ésto no demuestra el teorema.

b) Dada la función f(x)=(3x⁴-4x³-12x²)/40, ¿cumple las hipótesis del teorema de Weierstrass en el intervalo [-1, 2.5] ?. En caso afirmativo, ¿cuáles son los puntos del intervalo en los que la función alcanza el máximo y el mínimo?, ¿cuáles son sus valores aproximados?

Tanto el máximo como el mínimo pueden no ser únicos, según veremos en el siguiente ejemplo:

c) La función f(x)=(x⁴-8x²)/40 cumple las hipótesis del teorema de Weierstrass en el intervalo [-3.5, 3.5], ¿cuáles son los puntos del intervalo en los que alcanza los máximos y los mínimos?. (Quizá alcance algunos de ellos en los extremos del intervalo). Hallar sus valores aproximados.

Si no se cumplen las hipótesis del teorema, es decir, si falla la continuidad, la tesis puede cumplirse o no. Veamos un ejemplo, volviendo a usar la segunda escena:

d) Representar gráficamente la función f(x)=1/x. (Hacer p=0, q=1, r=0, s=1, t=0). ¿Qué hipótesis del teorema de Weierstrass no cumple en el intervalo [-3, 3]?, ¿cumple la tesis?

En la segunda escena se muestran dos ejemplos en los que no se cumple la hipótesis pero es cierta la tesis.

En la segunda escena aparecen representadas gráficamente dos funciones: la primera (de color rojo), la f(x), es la signo de x, es decir, igual a -1 si x<0, a 0 si x es 0 y a 1 si x>0; la estudiarás en [-2 ,2] . La segunda (de color azul), la g(x) es la raíz cuadrada de (x²-1); la estudiarás en el intervalo [-3, 3].

Seguimos con los ejercicios:

e) ¿Cumple la función f(x) las hipótesis del teorema de Weierstrass en el intervalo [-2, 2]?, ¿y la tesis?. En caso afirmativo, dónde alcanza el (o los) máximo(s) y mínimo(s)?, ¿cuáles son sus valores?

f) Contestar a las mismas preguntas para la función g(x) en el intervalo [-3, 3].  

Autor: Valerio Chumillas Checa

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