Definición de límite
Límite de una sucesión convergente | |
Hemos visto que en una sucesión
convergente los puntos se concentran
alrededor de uno que es el límite, de forma que
los términos de la sucesión se van acercando cada vez
más al valor del límite. Para formalizar esta idea
intuitiva y poder decidir si un número es o no límite
de una sucesión se da la siguiente definición. Se dice que un número l es el límite de una sucesión an, si cualquier entorno de l contiene infinitos de términos de la sucesión y deja fuera del entorno un número finito de términos. |
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Esto garantiza que l sea el único punto de acumulación, ya que todos sus entornos contienen infinitos términos de la sucesión, y no puede haber un segundo punto de acumulación, porque cada entorno de l sólo deja fuera un número finito de términos. | |
1.- Comprueba que esta sucesión tiene
límite 0, es decir que cualquier
entorno que elijas de cero, grande o
pequeño, contiene todos los términos de la sucesión a
partir de uno determinado. 2.- Comprueba que para un radio de 0'04 el primer término de la sucesión que pertenece al intervalo es a151 |
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3.- Busca cuál es el primer término de la sucesión a partir de cual todos los demás pertenecen al entorno de cero, en los siguientes casos: r=0'025; r=0'011; r=0'001; r=0'00026 |
Puntos que no son límite | |
En la actividad anterior has comprobado que 0 cumple la condición de la definición de límite para la sucesión del ejemplo. Se trata ahora de ver que, para esa sucesión, no hay otros números que cumplan la condición. | |
Se considera la misma sucesión y se trata de comprobar que cualquier otro número h distinto de cero no puede ser límite de esta sucesión, es decir, que hay algún entorno de h que no contiene infinitos términos de la sucesión. | |
1.- Prueba si puede ser límite el 1.
Observa que el entorno de radio 1'5 contiene infinitos
términos, pero que si tomas un entorno de radio menor
que 1, 1/2 por ejemplo, sólo pertenecen al entorno 9
términos. 2.- Prueba ahora si pueden ser límite de
esta sucesión otros números más próximos a cero, por
ejemplo 0'1, 0'025, ... |
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3.- Intenta definir el límite teniendo en cuenta la definición de entorno. |
Definición de límite finito | |||||||||||||||||
Veamos otra forma de expresar la
definición de límite: Se dice que un número l es el límite de una sucesión an, si para cualquier entorno Er(l) hay un término n0 de la sucesión tal que a partir de él todos los demás pertenecen al entorno.
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Esto garantiza que todos los entronos de l contienen infinitos términos de la sucesión (de n0 en adelante) y que entorno de l sólo deja fuera un número finito de términos (los anteriores a n0 ). | |||||||||||||||||
4.- Comprueba que el 2 cumple la definición, es decir que cualquiera que sea el radio del entrono de 2 siempre hay un término de la sucesión (el de lugar n0) a partir del cual todos los que le siguen pertenecen a ese entorno. 5.- Resuelve la inecuación:
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Autor: Juan Madrigal Muga
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