GEOMETRÍA JUGANDO AL BILLAR
(Problema extraído del libro "Matemáticas-Algoritmo 3" Vizmanos-Anzola Ed.SM 3ºBUP)
Una de las reglas básicas en la resolución de problemas consiste en empezar por lo más fácil: estudiaremos primero como conseguirlo a "una" banda (la inferior)
1.- Mueve por la banda (bien con el ratón o utilizando el control numérico inferior) el punto R hasta que S coincida con B:
Veamos ahora como obtener la solución, tanto gráficamente como analíticamente.
GRÁFICAMENTE
2.- Representa en tu cuaderno la mesa de billar y las bolas.
El punto R será aquel que verifica que es su suma de distancias a A y B es mínima. |
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| Si no hubiera banda inferior, la bola seguiría hasta el
punto B' (simétrico del B repecto de esa banda), y d(A,R )+ d(R,B) = d(A,R) + d(R,B') = d(A',R)+d(R,B) que será mínima cuando A, R y B' estén alineados (en cuyo caso tmbién lo estarán A',R y B). a) Representa el punto B'. |
... |
ANALÍTICAMENTE
Fijamos un sistema de referencia con el origen en el extremo inferior izquierdo y tomando como eje de abscisas la banda inferior y como eje de ordenadas la banda izquierda. De esta forma las coordenadas del punto A serán (7,2), las de B(22,5) y las de B'(22,-5).
| 3.- a) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por A y
B'. b) Halla la intersección de la recta anterior con el eje de abscisas. Sol: R = "7x+15y=79" |
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(Nota: Quedaría como ejercicio hacer lo mismo pero suponiendo que el rebote es en alguna de las otras tres bandas)
Afrontemos ahora el problema inicial: con dos bandas (considerando que el primer rebote se produce en la inferior).
Con un razonamiento análogo al anterior se pueden obtener dos soluciones:
4.- Mueve por la banda el punto R hasta que T coincida con B:
5.- Gráficamente:
Una solución la obtendras como intersección de la banda inferior con el segmento A'B''' (con A' el simétrico de A respecto de la banda inferior y B''' el simétrico de B respecto de la banda superior).
La otra se obtiene como intersección de la banda inferior con el segmento A'B'' (con B'' el simétrico de B respecto de la banda derecha).
| 6.- Analíticamente: a) Halla la
ecuación de la recta que pasa por A' y B'''. b) Halla la ecuación de la recta que pasa por A' y B''. c) Halla las intersecciones con el eje de abscisas de las rectas
anteriores. |
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7.- Supongamos ahora que la mesa no es rectangular sino que se trata de un triángulo equilátero de 14 u. de lado.
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¿Qué recorrido deberá seguir la bola para que, saliendo del punto A y que después de rebotar en DOS bandas, alcance el punto B? |
Autor: Andrés Mateos Royo
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||
"y=0" = (79/7,0) 
(11'286,0)