CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD

DE FUNCIONES

En esta página se presentan algunas funciones discontinuas en alguno de sus puntos. Esto permitirá comprender mejor los conceptos de continuidad y discontinuidad, antes de formalizar la definición.

Los ejemplos que se muestran también sirven para identificar los distintos tipos de discontinuidades.

Debes reflejar cada actividad en tu cuaderno de trabajo y anotar en él tus conclusiones.

Continuidad y discontinuidad en un punto.

Se comprende mejor el concepto de continuidad en un punto si se ven ejemplos de funciones que no son continuas en alguno de sus puntos.

1.- Observa la gráfica de la función parte entera (mayor entero menor o igual que x).

2.- Si recorres la gráfica cambiando el valor de x observarás que hay puntos donde se produce un salto ¿en cuales?

Nota: Para cambiar el valor de x haz clic sobre los pequeños triángulos de colores que hay a su lado. También puedes hacer clic sobre el valor numérico, modificar el número con el teclado y a continuación pulsar la tecla INTRO.

Se dice que en esos puntos en los que se produce el salto la función discontinua. En el resto, es continua.

Idea intuitiva: Se dice que una función es discontinua en el un punto a si al dibujar la gráfica y pasar por dicho punto es necesario levantar el lápiz del papel.

 

Discontinuidad evitable (o de primera especie)

Se llama así a un discontinuidad como la de la escena, en la que hay un punto que no se comporta como los de alrededor.

La función que se representa en la escena es:
f(x) = x2 si x < 1
3 si x = 1
x si x > 1

3.- Observa lo que ocurre para x = 1 y para valores próximos a 1. (por ejemplo x=0.98, x=0.99, x=1.03, x=1.02, etc.)

Bastaría hacer f(1)=1 para que la función f fuera continua, por eso se denomina: discontinuidad evitable..

Discontinuidad de salto finito (o de segunda especie)

En este caso lo que ocurre es que los valores de la función a la izquierda del punto de discontinuidad se aproximan a un número y los de la derecha a otro distinto.

La función que se representa en la escena es:
f(x) = 3 si x < 1
2x - 1 si 1 £ x £2
1/4 x2 si x > 2

4.- Observa lo que ocurre para valores próximos a 1. (por ejemplo, x=1, x=0.98, x=1.02, etc.)

Por ello, se dice que la función no es continua en x=1, que presenta una discontinuidad de segunda especie o de salto finito.

5.- Comprueba que la discontinuidad en x=2 es también del mismo tipo.

Discontinuidad de salto infinito (o de tercera especie)

Este tipo de discontinuidad debe su nombre a que para valores próximos al punto de discontinuidad, por uno o por los dos lados, la función toma valores que tienden a infinito.

La función que se representa en la escena es:
f(x) = 1 si x < 1
x/(x-1) si 1 £ x

4.- Observa lo que ocurre para valores próximos a 1. (por ejemplo, x=1, x=0.98, x=1,04, x=1.02, etc.)

En este caso, se dice que la función
no es continua en x=1
Presenta una discontinuidad de tercera especie o de salto infinito.

Autor: Jaime Fernández Salcedo (1º de Bachillerato grupo A)
I.E.S. Atenea de Alcalá de Henares (Madrid-España)
Experiencia didáctica del Departamento de Matemáticas (junio - 2000)