La Elipse
PRÁCTICA
PRIMERA:
Dadas dos circunferencias concéntricas de centro O y radios a y b (a>b) trazamos un radio cualquiera OQ que corta en B y Q respectivamente a la circunferencia menor y a la mayor. La paralela por B al eje de abscisas y la paralela por Q al eje de ordenadas se cortan en un punto P(x,y). Hallar el lugar geométrico de los puntos P cuando el punto Q se mueve por la circunferencia principal.
La siguiente escena nos permite visualizar el correspondiente lugar geométrico. Para ello presiona con el ratón sobre la flecha incrementadora del valor de t (ángulo en radianes) hasta dar una vuelta completa.
Ejercicios:
1) Utilizando la semejanza de triángulos y/o la trigonometría y teniendo en cuenta que el punto P(x,y) tiene la misma abscisa que Q y la misma ordenada que B demuestra que x=a·cost e y= b·sent (ecuaciones paramétricas de la elipse). Comprueba a continuación que estos valores verifican la ecuación cartesiana
x²/a²+y²/b²=1
2) Limpia la escena y da a b el valor 4. Genera la elipse correspondiente pulsando con el ratón sobre el ángulo t hasta dar una vuelta completa. Halla la ecuación cartesiana y la ecuación paramétrica de dicha elipse, los focos, los vértices y la excentricidad.
3) Lo mismo que en el apartado anterior para el valor b=2.
4) ¿Qué pasa con la excentricidad cuando b disminuye ?. ¿Cómo afecta a la forma de la elipse?. De todas las elipses que podemos generar con esta escena ¿cuál es la de menor excentricidad y a qué valor de b corresponde?
PRÁCTICA SEGUNDA:
Hallar el lugar geométrico de un punto intermedio P de un segmento AB de longitud r que se apoya en los ejes coordenados.
La escena que viene a continuación nos permite visualizar el correspondiente lugar geométrico. Para ello arrastra el punto de control P hasta dar una vuelta completa alrededor del origen de coordenadas y verás que el rastro que deja es una elipse.
Ejercicios:
1) Resuelve el problema analíticamente siendo r=4 y P un punto situado a distancia 1 de A. Para ello toma P(x,y), A(m,0) y B(0,n) y teniendo en cuenta que m²+n²=r²=16 y que las componentes del vector AB son iguales a 4 veces las del vector AP elimina los parámetros m y n. Comprueba la solución obtenida con la que nos aporta la escena. ¿Cuáles son los focos?
2) Limpia la escena y haz r=7. Arrastra el punto de control P hasta dar una vuelta completa alrededor del origen de coordenadas. Escribe la ecuación de la elipse engendrada por el rastro que deja el punto P.
3) ¿Qué valor hay que dar a r para que el lugar geométrico obtenido sea una circunferencia?. Dibújala arrastrando el punto P y escribe su ecuación
PRÁCTICA TERCERA:
Dada una circunferencia de centro F´y un punto F interior a ella, hallar el lugar geométrico de los puntos P del plano que equidistan del punto F y de la circunferencia.
La presente escena nos facilita la visualización del lugar geométrico que buscamos. Para ello pulsa con el ratón sobre la flecha incrementadora del ángulo t (expresado en radianes) hasta dar una vuelta completa. Simultáneamente has de observar en los textos que PM es igual a PF y por lo tanto P verifica las condiciones del lugar e identificarás éste observando los valores de las expresiones que constituyen la definición bifocal de las cónicas con centro, es decir, PF+PF´=cte. y |PF-PF´|=cte. Cada vez que cambies los valores de los parámetros de la escena debes de actualizarla haciendo clic sobre el botón LIMPIAR.
Ejercicios:
1) Resuelve analíticamente el problema siendo los datos los valores iniciales de la escena, es decir, r=5, F´(-1.50,0) y F(1.50,0) y teniendo en cuenta que la distancia de un punto a una circunferencia es, si el punto es interior, la diferencia entre el radio y la distancia del punto al centro. Comprueba que la ecuación cartesiana obtenida se corresponde con los datos de la cónica de la escena.
2) Escribe los valores r=5, a=0 y Fx=3, pulsa el botón limpiar e incrementa t para que dé una vuelta completa. Escribe la ecuación de la cónica resultante y calcula su excentricidad.
3) Escribe los valores r=5, a= -1.50 y Fx= -1.50, pulsa el botón limpiar e incrementa t para que dé una vuelta completa. Identifica la cónica resultante y escribe su ecuación.
4) Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 3.50 en la casilla de Fx, haz clic en el botón limpiar y observa el resultado.
5) Pulsa el botón inicio, escribe con el teclado el valor 5.00 en la casilla de Fx, haz clic en el botón limpiar y observa el resultado.
PRÁCTICA CUARTA:
Consideremos la elipse centrada en el origen de coordenadas que tiene excentricidad e (e<1) y cuyo semieje mayor es a. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos del plano cuya razón de distancias al punto F(a·e,0) y a la recta x=a/e es igual a e coincide con dicha elipse.
La escena que sigue nos permite comprobar la afirmación anterior. Para ello arrastra el punto de control P con el ratón y observa los valores que toman los textos: PF/PR vale e y PF+PF´=cte. Cada vez que cambies los valores de los parámetros a o e de la escena debes de actualizarla haciendo clic sobre el botón LIMPIAR.
Ejercicios:
1) Demostrar analíticamente la proposición del enunciado tomando como datos los valores iniciales de la escena (a=5 ; e=0.80). Halla directamente la ecuación cartesiana de la elipse de la escena para los citados valores y comprueba que coincide con la ecuación del lugar geométrico que has hallado.
2) Reduce la escala a 24, da a a el valor -5 y a e el valor 0.08, haz clic en el botón limpiar y arrastra el punto P hasta dar una vuelta completa. ¿Qué observas?. Escribe la ecuación del lugar geométrico.
3) Haz clic en el botón inicio, pon e=1, pulsa con el ratón sobre el botón inicio y arrastra el punto de control P. ¿Cuál es el lugar geométrico obtenido?.
4) Repite el apartado 3) pero poniendo e=1.20.
Autor: Javier de la Escosura Caballero
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 |
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