Cónicas y excentricidad
Todos los puntos de una cónica verifican que el cociente entre sus distancias a un punto fijo y a una recta fija es siempre el mismo número e; este número e es menor que la unidad si la cónica es una elipse, igual a la unidad si es una parábola y mayor que la unidad si se trata de una hipérbola.
Esta propiedad, descubierta por el matemático alejandrino Pappus en el siglo IV, permitió al matemático neerlandés Jan de Witt (s. XVII) dar la siguiente definición unificada de cónica:
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la razón de sus distancias a un punto fijo, llamado foco, y a una recta fija, llamada directriz es constante. Esta constante se llama excentricidad y si se denota por e se tiene:
e<1, la cónica es una elipse
e=1, la cónica es una parábola
e>1, la cónica es una hipérbola.
La escena siguiente permite comprobar esta
definición foco-directriz. Para ello cada vez que modifiques el
parámetro e tienes que hacer clic en el botón limpiar para
actualizar la escena y arrastrar a continuación el punto de control P. Simultáneamente
al movimiento de P hay que observar cómo varían los valores del texto de
la escena pues en ellos aparecen las correspondientes fórmulas de cada cónica
que tú conoces. También debes dar valores adecuados a la escala y a O.x
para centrar la imagen.
Ejercicios:
1) Arrastra el punto P para el valor inicial de la escena (e=0.85) y vete comprobando que se verifican las dos definiciones de elipse. Haz e=0.95, limpia la escena, arrastra el punto P y mira a ver si se siguen verificando las dos definiciones de elipse. ¿Cómo varía la forma de la elipse a medida que e crece?
2) Asigna el valor 1 a e, limpia la escena, arrastra el punto P y vete comprobando que se verifican las dos definiciones de parábola. ¿Qué pasó con el foco F´?
3) Haz (e=1.15) limpia la escena, arrastra el punto P y vete comprobando cómo se verifican las dos definiciones de hipérbola. Aumenta el valor de e, limpia la escena, arrastra el punto P y mira a ver si se siguen verificando las dos definiciones de hipérbola. ¿Cómo varía la forma de la hipérbola a medida que e crece?
Autor: Javier de la Escosura Caballero
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 |
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