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La Circunferencia

PRÁCTICA PRIMERA:

Dados dos puntos del plano A(Ax,Ay) y B(Bx,By) hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que el producto escalar de los vectores PA y PB es igual a cero.

La siguiente escena nos permite visualizar el correspondiente lugar geométrico. Para ello arrastra convenientemente con el ratón el punto de control P y observa los valores que aparecen en los textos de la escena. Prueba con nuevos puntos A y B.

Ejercicios:

1) Calcula analíticamente la ecuación de la circunferencia correspondiente a los valores iniciales de la escena "puntos A(-2,-1) y B(3,0) " y comprueba que el centro y el radio coinciden con los obtenidos en la misma.

2) Lo mismo que en el apartado anterior para los puntos A(-2,-1) y B(2,2).

PRÁCTICA SEGUNDA:

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados A(Ax,Ay), B(Bx,By) y C(Cx,Cy)

La siguiente escena nos permite visualizar la solución y nos sugiere un método para llegar a ella. En los extremos superior e inferior de la escena aparece la ecuación de la circunferencia solución, respectivamente en la forma (x-a)²+(y-b)²=r² y en la forma x²+y²+mx+ny+p=0. También se pueden ver las ecuaciones de las mediatrices correspondientes a los segmentos AB y BC.

Prueba con nuevos puntos A, B y C y observa qué pasa.

Ejercicios:

1) Calcula analíticamente la ecuación de la circunferencia correspondiente a los valores iniciales de la escena "puntos A(3,-4), B(-3,2) y C(3,4)" y comprueba el resultado.

2) Lo mismo que en el apartado anterior para los puntos A(5,-4), B(-2,4) y C(4,4).

3) ¿Qué ocurre al intentar calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos que están alineados?.

4) En relación con el triángulo de vértices A, B y C ¿qué nombre recibe la circunferencia que pasa por ellos?

PRÁCTICA TERCERA:

Hallar la ecuación de las circunferencias que tienen su centro en la recta r: Mx+Ny+R=0 y son tangentes a las rectas r´: x+3y+4=0 y r´´:x-y=0.

La siguiente escena nos permite visualizar la solución y nos sugiere un método para llegar a ella si tenemos en cuenta que el centro de las circunferencias solución está en la recta r y equidista de las rectas tangentes r' y r''.

Prueba con nuevos valores para M, N y R y observa qué pasa.

Ejercicios:

1) Calcula analíticamente la ecuación de la/s circunferencia/s correspondiente/s a los valores iniciales de la escena " M=1, N=1 y R= -1" y comprueba que el resultado coincide con el de la escena.

2) Introduce los valores M=1, N= -1 y R=4 y observa el resultado. ¿Cómo son lar rectas r y r''?. Escribe las ecuaciones de las circunferencias solución.

3) Introduce unos valores de M, N y R para que la recta r sea paralela a r' y obtén las ecuaciones de las circunferencias solución.

4) ¿Qué condición tienen que cumplir M, N y R para que la recta Mx+Ny+R=0 pase por el punto (-1,-1) (punto de intersección de las rectas dadas r´y r´´). Elige algún valor para M, N y R de manera que se cumpla la condición anterior. ¿Qué pasa en este caso?. Justifica la respuesta.

PRÁCTICA CUARTA:

Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas iguales de una circunferencia y el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas con un extremo común fijo.

La siguiente escena consta de dos circunferencias y de un texto. La circunferencia grande nos va a describir los lugares geométricos buscados. La pequeña, que acompasa a la grande, sirve para describir y reconocer, por identificación de sus colores, los ángulos alfa y beta que animan la escena. El texto también nos proporciona las coordenadas de los extremos de las cuerdas así como las de su punto medio.

Ejercicios:

1) Presiona con el ratón sobre el botón incrementador del ángulo alfa (flecha azul) hasta dar una vuelta completa (pasar de 22.5º a 382.5º). Observa el lugar geométrico resultante y calcula su ecuación.

2) Da a alfa el valor 0º y a beta 60º. Limpia la escena e incrementa alfa, como en el apartado anterior, hasta dar una vuelta completa. Observa el triángulo OAB del círculo pequeño y demuestra que la circunferencia obtenida tiene de radio la ordenada de B.

3) Limpia la escena y adjudica 0º a alfa y 90º a beta para que los puntos A y B tengan de coordenadas (4,0) y (0,4) respectivamente. Presiona con el ratón sobre el botón incrementador del ángulo beta (flecha azul) hasta dar una vuelta completa (pasar de 90º a 450º). Observa el lugar geométrico resultante y calcula su ecuación.

4) Sin limpiar la escena escribe en la casilla de alfa el valor 90º y acéptalo. Realiza una vuelta completa con beta (en sentido positivo o negativo). Escribe la ecuación del lugar geométrico resultante.

5) Sin limpiar la escena repite el proceso anterior primero dando a alfa el valor 180º y después 270º.

Autor: Javier de la Escosura Caballero


	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001