LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS.

TRAZADO

LA ELIPSE

La elipse es el conjunto de puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante.

PF + PF' = 2a

En una elipse podemos encontrar los siguientes elementos:

  1. Los radios vectores de un punto P son los segmentos PF y PF'.

  2. El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F'.

  3. El eje secundario es la mediatriz del segmento FF'.

  4. El centro de la elipse es el punto O donde se cortan los ejes. El eje focal y el eje secundario son ejes de simetría de la elipse y el centro O es el centro de simetría.

  5. La distancia focal es el segmento FF', cuya longitud es 2c, es decir, OF = OF' = c

  6. Los vértices son los puntos A, A', B, B' en los que los ejes cortan a la elipse.

  7. El eje mayor es el segmento AA'.

  8. El eje menor es el segmento BB'.

Con la siguiente escena puedes observar como se construye la elipse. En ella puedes ver todos los elementos de que consta, además puedes comprobar que cumple la condición que la define, esto es:

PF + PF' = 2a

donde 2a es una longitud constante.

 

Actividad 1

  1. Dibuja en tu cuaderno de trabajo una elipse e identifica todos los elementos enumerados anteriormente.

  2. Comprueba y dibuja la figura que obtenemos cuando a = c

  3. Haz lo mismo para c = 0

 

Longitudes de los ejes. Distancia focal

Se trata a continuación de averiguar cuál es la longitud del eje mayor (AA´) de la elipse. Para comenzar, situa el punto P sobre el punto A. Observa lo siguiente (Vas a necesitar tu cuaderno de trabajo): Como el punto P es A, se debe cumplir que:

AF + AF '= 2a

A'A = A'F '+ AF '

pero como

A'F '= AF

se tiene que

A'A = AF + AF '= 2a

luego

AA' = 2a

Llamemos a continuación a la longitud de eje menor BB´ = 2b. De esta forma ya tenemos definidas tanto la distancia focal como las longitudes de los ejes:

Eje mayor: A´A = 2a

OA = a

Eje menor: B´B = 2b

OB = b

Distancia focal: F´F = 2c

OF = c

 

Actividad 2

  1. Demuestra que la longitud del segmento BF = a (Para ello observa que B es un punto de la elipse, y que por tanto se debe cumplir que: BF + BF´ = 2a).
  2. Demuestra a continuación que se cumple la siguiente relación: a^2 = b^2 + c^2 (Recuerda que a^2 significa a elevado al cuadrado. El símbolo ^ es elevar una base a una potencia). Compruébalo con ayuda de tu calculadora para diferentes valores de a, b y c

 

Excentricidad de la elipse

Llamamos excentricidad de la elipse al cociente entre la distancia focal y la longitud de eje mayor, esto es:

e = c/a

dónde c < a

 

Actividad 3

a) El eje mayor de una elipse mide 40 cm y la distancia focal 24 cm.
  1. ¿Cuál es la longitud del eje menor?
  2. ¿Cuál es la excentricidad de la elipse?

b) La excentricidad de una elipse es 0,8 y el eje mayor mide 20 cm. ¿Cuál es la longitud del eje menor?

c) Entre qué valores estará comprendida la excentricidad de una elipse

 

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Introducción La Hipérbola La Parábola

Autor: Manuel Alonso Benito