LA RAZON AUREA


I-¿Qué es la razón áurea?

    En un pentagono regular el cociente  entre una   de sus diagonales (por ejemplo BE) y un lado (por ejemplo CD) es  constante. Este cociente o  razón se llama  la razón áurea. El número que resulta F=1,61803398875.... se llama número áureo o número de oro. (A F tambien se le representa por la letra griega F)

1-Observa la figura.

        En la figura está dibujado un pentágono regular de lado 5 unidades y su circunferencia circunscrita. Una cualquiera de sus diagonales mide 8.0901701, con  una  precisión  de 7 cifras   decimales.  ¿Cuanto vale el cociente o razón  BE/CD? ¿Qué relación tiene con el número F? ¿Explica la diferencia entre los decimales del número F del texto y el resultado F obtenido en la figura?

2.-Al variar el lado obtienes distintos pentágonos regulares? (Utiliza la linea de entrada  para introducir distintos valores del radio) Prueba con los siguientes valores del lado

lado = 3 , 3.5 , 1, 2.67

Comprueba que en un pentágono regular el cociente o razón

razon.gif (581 bytes)

es constante y vale F=1,618034

3-¿Cuanto tiene que valer el lado para que la diagonal valga 1?

Pulsando con el ratón en los vértices del polígono obtienes las coordenadas de los puntos con una precisión de dos decimales.

4-Calcula el lado CD y la diagonal BE con dos decimales.  Utiliza para ello la fórmula de la distancia euclídea.

5-Calcula la razón áurea con los datos obtenidos.

6-Compara los resultados  con los datos que se te ofrecen en el dibujo.


II-La Divina Proporción

    En un pentágono regular si D es la medida de una diagonal y L la medida de un lado se cumple la relación siguiente:

relacion_fundamental1.gif (224 bytes)

o dicho en palabras: La diagonal (D) es al lado (L) como el lado es la diferencia entre la diagonal y el lado. (Tambien se dice que  el lado es   media proporcional entre la diagonal y la diferencia entre  la diagonal y el lado)

    La formula anterior es una igualdad entre dos razones, es decir es una proporción. El matemático italiano Luca Pacioli entusiasmado por sus propiedades la llamó la proporción divina. Nombre con el cual se conoce a un esta relación.

   

7.-Comprueba que se cumple la relación para diferentes radios. (Puedes variar el radio en la linea de entrada o bien puedes pulsar el botón izquierdo del ratón en el  punto A y arrastrar)

Razonemos por qué es cierta esta relación

8-Observa que BP y  PC miden igual que los lados del pentágono. ¿Sabes decir alguna razón?

9-Los triángulos BPC y CPD son semejantes (Es decir son iguales en forma pero tiene diferente tamaño). Razónalo.

10-Si los triágulos BPC y CPD son semejantes Demuestra la relación

relacion_fundamental1.gif (224 bytes)

11-Si en la relación anterior, divides el numerador y denominador por L y tienes en cuenta que F= D/L ¿A qué relación llegas?


III-Una relación fundamental

En el apartado anterior has deducido que la razón áurea F cumple la relación

F2 = F+1

o dicho de otra forma F es solución de la ecuación

F2 - F - 1 = 0

A partir de esta relación puedes obtener muchos resultados

12-Calcula el valor exacto de F (indicación: Ten en cuenta que F>1, pues la diagonal es mayor que el lado)

13-Observa que F3 = F2F=(F +1)F= F2 +F =1+F+F.

Es decir F3 = 2F+1

14-Encuentra expresiones para F4 y F5 análogas a las anteriores

15-Halla una expresión para el inverso de F (Indicación: vuelve a la relación fundamental)

16-Calcula exactamente el inverso de F

17-Calcula una aproximación de 7 decimales para el inverso de F

18-Encuentra una expresión para F-2 análoga a la del ejercicio 12


IV División de un segmento en una razón dada

    Decimos que el punto P divide al segmento AB en la razón r si el cociente

AP/PB = r

Ejemplos

1) Si r = 1 decimos que P divide al segmento AB por la mitad

2) Si r = F la razón aúrea decimos que el segmento AB se ha dividido en extrema y media razón o que hemos realizado la división áurea del segmento AB.

Notas

1- Si hemos realizado la división áurea del segmento AB, decimos que el segmento AP es la sección áurea de AB.

2-El nombre de división en extema y media razón procede de Euclides.

3-Recuerda que las diagonales de un pentágono regular se cortan según la razón áurea.

19-Divide el segmento AB en las siguientes razones

r: 1.5, 2, 0.1, 0.25


V Construcción de la sección áurea de un segmento

    Un problema clásico es construir, con regla y compás, la sección áurea de un segmento dado.

En la escena se pueden observar las sucesivas etapas.

 

1) Se construye la perpendicular al segmento AB que pasa por P y con el compás hallamos el punto C tal que AB = BC

2) Construimos el punto medio del segmento BC y lo llamamos D

3) Con la regla construimos el segmento AD

4) Con centro en D y radio DB trazamos un arco de circunferencia  y calculamos E

5) Con centro en A y radio AE trazamos un arco de circunferencia y calculamos P

    El Punto P divide al segmento AB en la razón áurea y el segmento AP es la sección áurea del segmento AB.

20-Siguiendo las instrucciones anteriores, construye en una lámina de papel la sección áurea de un segmento dado.

21-Observa la escena para diferentes longitudes del segmento AB (Puedes cambiarlo en la linea de entrada o arrastrando el punto B)


VI-El símbolo Pitagórico

       Si unes los vértices de un pentágono regular de dos en dos trazando las diagonales obtienes la estrella de cinco puntas. Los lados de la estrella son las diagonales del pentágono. Las cuales sabemos que se cortan según la razón áurea.

    Los pitagóricos estaban  tan orgullosos de las propiedades de la razón áurea que la estrella de cinco puntas era su símbolo.

22-Obtén diferentes estrellas de cinco puntas al variar el radio de la circunferencia

 

Autor: Julio Castiñeira Merino

Alumno
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001  
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