ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA (II)

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5. Demostración:

• Haremos la demostración en tres pasos. En cada uno de ellos puedes modificar los ángulos y el arco de la escena 4 para comprobar lo siguiente:

    1. Si uno de los lados del ángulo pasa por el centro de la circunferencia (escena 4):

El triángulo AOQ es isósceles, pues OA y OQ son radios de la circunferencia, y por lo tanto  iguales. Por ello, los dos ángulos AQO y QAO son iguales, llamémosle alfa.

Puesto que los ángulos de un triángulo suman 180°, el ángulo QOA = 180° - 2 *alfa.

Como el ángulo central es suplementario a QOA, será igual a 180° -QOA = 2*alfa. 

Escena 4

    2. Si el centro queda dentro de los lados del ángulo (escena 5):

Trazamos una semirecta, r, que pasa por A y O. Dicha semirecta divide al ángulo en otros dos  cada uno de los cuales esta como en el caso anterior y, por lo tanto, el arco que abarca corresponde al de un ángulo central doble. La suma de los dos ángulos se corresponderá con la suma de los dos ángulo centrales, que será doble que el inscrito, alfa.

Escena 5

     3. Si el centro de la circunferencia queda en el exterior de los lados del ángulo (alfa):

Arrastra con el ratón el vértice del ángulo A hasta que se dé esa situación.

En este caso el ángulo QAR tiene un lado que pasa por el centro de la circunferencia;  en 1. vimos que su ángulo central asociado, tiene un valor doble. Pero éste es la suma  del ángulo central de PAR y alfa, por lo tanto, alfa es igual a la mitad de su ángulo central asociado.

 

6. Caso particular interesante:

• Si P y Q son los extremos de un diámetro, entonces, el ángulo central tendrá un valor de 180° y el ángulo inscrito (se dice, en este caso, que está inscrito en una semicircunferencia) valdrá 90°.

• Mueve P y A para comprobarlo en la escena 6.

Escena 6

Autor: Carlos Macho Antolín