1º) f(x) continua en [a, b].

2º) Toma valores de distinto signo en a y en b.

Entonces, existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) tal que f(c)=0.

Los parámetros a y b situados a la derecha de x, sirven para ir variando los extremos del intervalo y ponerlos donde queramos.

El punto P (en color rojo), del que podemos ver sus coordenadas, recorre la gráfica de f(x) cuando vamos variando x. También podemos ver dos segmentos verticales (de color azul) que unen el punto (a, 0) con el (a, f(a)) y el (b, 0) con el (b, f(b)), apareciendo estos dos puntos (a los que se llama Q y R, respectivamente) de la gráfica de la función en color azul, junto a sus coordenadas.

i) Todas las funciones representadas en la primera escena son derivables y por tanto continuas en toda la recta real, en particular en cualquier intervalo [a, b], luego cumplen la primera hipótesis del teorema de Bolzano.

Naturalmente, ésto no demuestra el teorema.

El punto c puede no ser único, según veremos en el siguiente ejemplo:

Si no se cumplen las hipótesis del teorema, la tesis puede cumplirse o no. Veamos un ejemplo de cada una de las dos situaciones:

e) La función f(x)=(x⁴+3x²+15)/40 no cumple una de las hipótesis del teorema de Bolzano en el intervalo [-2, 2], ¿cuál?, ¿cumple la tesis?. Demuestra el resultado analíticamente.

f) Has visto las raíces reales de varios polinomios de grado 4, ¿cuántas raíces reales tiene en la recta real uno de estos polinomios? ¿Y los polinomios de grado 3? Habrás observado que los de grado 4 tienen un número par de raíces reales y los de grado 3, un número impar, aunque ¡cuidado!, porque algunas raíces son dobles.

La segunda escena es análoga a la primera, con la diferencia de que en ella se pueden representar gráficamente algunas funciones racionales; todas aquellas de la forma f(x)=px+q/(rx²+sx+t), siendo p, q y r números enteros comprendidos entre -1 y 1.

Esta escena nos permite estudiar otras dos posibilidades: aquellas en las que falla la hipótesis de la continuidad.

(Como trabajamos con funciones elementales, solamente dejan de ser continuas donde no están definidas).

h) Representar gráficamente la función f(x)=x/(x²-1). (Hacer p=1,q=0, r=1, s=0, t=-1), ¿qué hipótesis del teorema de Bolzano no cumple en el intervalo [-2, 2]?, ¿cumple la tesis?. En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c de (-2, 2) en el que se anula?

Tal como se dijo en la introducción, el teorema de Bolzano se usa fundamentalmente para hallar intervalos en los cuáles haya raíces de una ecuación dada, con el fin de hallar valores aproximados a éstas. He aquí unos ejemplos:

Solución: La función g(x)=x⁴-x³-13x²+x+12 cumple, por ejemplo, que g(-4)=120>0; g(-2)= -18<0; g(0)=12>0; g(2)=-30<0 y g(5)=192>0, luego tiene una raíz en cada uno de estos intervalos: (-4, -2), (-2,0), (0,2), (2,5), teniendo en cuenta que ni -2, ni 0, ni 2 son raíces de la ecuación.

Sabes que un número real positivo tiene dos raíces cuadradas pero si tuvieras que demostrarlo rigurosamente, quizá tuvieras dificultades; sobre eso trata el próximo problema.

La ecuación x²=n es equivalente a la x²-n=0, luego hemos de demostrar que, si g(x)= x²-n, g(x) tiene alguna raíz real.

Si n=0, tiene raíz, luego podemos suponer que n>0. Entonces g(0)=-n<0. Necesitamos, para cada n, un valor para el que g(x) sea positivo. Si n>1, ese valor es, por ejemplo n , ya que es g(n)= n²-n>0 y si 0<n<1, es, por ejemplo 1, ya que es g(1)=1-n>0 (por supuesto, 1 tiene raíz y se puede excluir).

Luego olvidándonos de los valores 0 y 1,

Si n>1, g(0)=0-n<0 y g(n)= x²-n>0, luego n tiene una raíz en [0,n].

Si n<1, g(0)=0-n<0 y g(1)=1-n>0, luego n tiene una raíz en [0,1].

En la tercera escena está dibujada, en rojo, la función g(x)= x²-n (pudiéndose variar el valor de n). Las abcisas de los dos puntos de corte de la gráfica con el eje horizontal son las dos raíces de n.

Usando esta escena se pueden comprobar, fácilmente, los resultados hallados en la resolución del problema.

Solución: Sea g(x)=x²-3. El número buscado es aquél para el que se anule g(x), luego vamos a buscar un intervalo de la recta real de manera que en uno de sus extremos g(x) tome un valor positivo y en el otro negativo.

Es g(1.7)=2.89-3<0 y g(1.8)=3.24-3>0, luego la raíz está en el intervalo (1.7, 1.8).

Nos fijamos en el punto medio del intervalo [1.7, 1.8] , es decir, en 1.75 y dividimos el intervalo [1.7, 1.8] en dos subintervalos iguales: el [1.7, 1.75] y el [1.75, 1.8]. Como g(1.75)=3.0625-3>0, nos quedamos con el subintervalo [1.7, 1.75] porque en sus extremos, g(x) tiene valores de signo opuesto. Luego la raíz está en el intervalo (1.7, 1.75), ya que no es 1.75.

Dividimos el nuevo intervalo en dos iguales: el [1.7, 1.725] y el [1.725, 1.75]. Como g(1.725)=2.975625-3<0, seguimos con el subintervalo [1.725, 1.75] porque en sus extremos, la función toma valores de signos opuestos. Luego la raíz buscada está en el intervalo (1.725, 1.75), ya que no es 1.725.

Dividimos el nuevo intervalo en dos iguales: el [1.725, 1.7375] y el [1.7375, 1.75]. Como g(1.7375)=3.0229...-3>0, seguimos con el subintervalo [1.725, 1.7375] porque en sus extremos, la función toma valores de signos opuestos. Luego la raíz buscada está en el intervalo (1.725, 1.7375), ya que no es 1.7375.

Por ejemplo, si tomamos para raíz de 3 el número 1.73125 (centro del intervalo), el error cometido es menor de 1.73125-1.725=0.00625, es decir, de una centésima.

2.- El interés del problema estriba en que podemos hallar una raíz cuadrada, con cierta aproximación, hallando valores de la función "elevar al cuadrado", (con la que es más fácil trabajar).

3.- Sin embargo, en la era de los ordenadores, el interés del problema es sólo teórico, como aplicación del teorema de Bolzano.

La técnica que hemos usado para hallar la raíz cuadrada de 3, se llama método de la bisección y consiste en ir dividiendo cada intervalo en el que sabemos que está la raíz en dos subintervalos iguales y quedarnos con aquél en cuyos extremos la función toma valores de distinto signo; de esta manera, vamos hallando intervalos cada vez más pequeños en los que se encuentra la raíz.

Este método sirve también para demostrar el teorema ya que si seguimos el proceso de partición de los intervalos indefinidamente, el punto común a todos los intervalos (que existe) es la raíz buscada.  

Autor: Valerio Chumillas Checa