Indeterminaciones del tipo 0/0.

En toda esta página consideraremos dos funciones f(x) y g(x) con límite cero en un cierto punto a.

Es decir



Vamos a comprobar con una serie de ejemplos que, en estas circunstancias, el límite cuando x tiende al punto a de f(x)/g(x) puede valer cualquier cosa: en unos casos valdrá +¥, en otros valdrá cualquier número positivo, en otros valdrá cero, en otros valdrá cualquier número negativo y en otros valdrá -¥. Incluso puede suceder que los límites laterales no coincidan.


Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite cuando x tiende al punto a de f(x)/g(x) es más infinito.

Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite cuando x tiende al punto a de f(x)/g(x) es menos infinito.

Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite cuando x tiende al punto a de f(x)/g(x) es más infinito por la derecha y menos infinito por la izquierda.

El parámetro t que aparece en esta gráfica permite que trabajemos con distintas funciones f(x). Todas ellas tienen límite cero en el punto a, pero el cociente entre f(x) y g(x) va cambiando. Selecciona un valor cualquiera para t, tanto positivo como negativo. Después, acerca la x al punto a para averiguar cuánto vale el límite del cociente cuando x tiende al punto a. Repite el ejercicio para distintos valores de t y observa que se puede obtener cualquier límite.

Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende al punto a es uno.

Haz que la x tome valores próximos al punto a, tanto por la izquierda como por la derecha y observa qué sucede con f(x)/g(x). En este ejemplo el límite de f(x)/g(x) cuando x tiende al punto a es cero.




Infinitésimos.

Se dice que una función, f(x), es un infinitésimo en un punto a si



Todas las funciones que aparecen en los ejemplos anteriores son infinitésimos en el punto a. Desde el punto de vista intuitivo un infinitésimo es una función que se aproxima a cero tanto como queramos sin más que aproximar x al punto a.

Una de las cuestiones más interesantes en el estudio de los infinitésimos es su comparación. Comparar dos infinitésimos nos permite averiguar cuál de los dos se acerca a cero más rápidamente y este conocimiento puede ser muy útil en otros cálculos. Asimismo el saber que dos funciones muy diferentes tienden a cero a la misma velocidad en las cercanías de un punto nos permite que bajo ciertas condiciones podamos sustituir una por otra en nuestros cálculos y de esa manera simplificarlos. El procedimiento para comparar dos infinitésimos en un punto a consiste en calcular el límite de su cociente cuando x tiende al punto a. Este procedimiento nos permite establecer la siguiente clasificación:

En todo lo que sigue supondremos que f(x) y g(x) son dos infinitésimos en un mismo punto a, es decir.







Autor: José Luis Alonso Borrego
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000