DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

 

Función de densidad y
función de distribución.

Parámetros de una distribución

Ejemplos de distribuciones
de variable continua

 

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de frecuencias. En el caso de una variable estadística continua consideramos el histograma de frecuencias relativas, y se comprueba que al aumentar el número de datos y el número de clases el histograma tiende a estabilizarse llegando a convertirse su perfil en la gráfica de una función. 

Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen mediante una función y=f(x) llamada función de probabilidad o función de densidad.

Así como en el histograma la frecuencia viene dada por el área, en la función de densidad la probabilidad viene dada por el área bajo la curva, por lo que:

  • El área encerrada bajo la totalidad de la curva es 1.

  • Para obtener la probabilidad P(a£X£b) obtenemos la proporción de área que hay bajo la curva desde a hasta b.

  • La probabilidad de sucesos puntuales es 0, P(X=a)=0

 

Función de densidad y función de distribución

Llamaremos función de densidad de una variable aleatoria continua X a una función f que cumple:

Considera la función:

Comprueba que se trata de una función de densidad

  • En efecto f(x)³0 y el área total bajo la curva, en este caso un triángulo es 1

 Si X es una variable aleatoria cuya función de densidad es f calcula

  • P(X £ 0.75)=

  • P(X £ 1,25)=

  • P(0,75£X £ 1.25)=

Cambia el valor de a y b y calcula el área

Como has visto en el ejercicio anterior la p(a£X£ b) viene dada por el área entre la curva y=f(x) y el eje de abscisas desde a hasta b, si has estudiado ya cálculo integral sabrás que este área es:

p(a £X £ b) = "área bajo la curva desde a hasta b" =

Dada una variable aleatoria X la función que asigna a cada número real la probabilidad p(X£ x) se llama función de distribución. Viene dada por

La función de distribución correspondiente a la función de densidad anterior es

  • Observa que el área bajo la curva de 0 a x es la del triángulo de base x y altura 0,5x.

Calcula en la gráfica y compara los resultados con los obtenidos anteriormente

  • P(X £ 0,75)=F(0,75)=
  • P(X £ 1,25)=F(1,25)=
  • P(0,75£X £ 1,25)=F(1,25)-F(0,75)=

 

Parámetros en una distribución de probabilidad

Por analogía con las variables estadísticas podemos definir también aquí la media m y la desviación típica s de la variable aleatoria.

  • La media m, también llamada esperanza matemática, es un valor representativo de todos los valores que toma la variable aleatoria X, lo podemos imaginar como el punto sobre el eje de abscisas donde al poner una cuña la figura plana definida por la función de densidad quedará en equilibrio. Para calcularla hemos de hacer:

  • La desviación típica s es una medida de la dispersión de los valores que toma la variable aleatoria de la media. Como ocurría con las variables estadísticas la desviación típica será más pequeña o más grande según la gráfica de la función de densidad sea más estrecha o más ancha en torno a la media. En este caso se calcula:

Comprueba, si sabes integrar, que en ejemplo anterior la media es 4/3 y la desviación típica 0,47

 

Considera la función de la escena:

Comprueba que se trata de una función de densidad

Calcula, mediante las áreas de las figuras correspondientes:

  • P(X £ 1,5)=

  • P(1,75£X £ 2,25)=

¿Por simetría, cuál crees que es la media en este caso?

 

EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA

La distribución uniforme

Las distribuciones uniformes corresponden al experimento de elegir dos puntos al azar entre dos fijos m y n. Como la probabilidad de elegir cualquier punto es la misma, la función de densidad tendrá la misma altura en todos los puntos entre m y n, es decir se trata de una función constante desde m a n, de altura 1/(m-n).

Supón que tenemos una cuerda de 2 m de longitud que queremos cortar por un punto al azar a distancia x de uno de los extremos.

¿Cuál es la función de densidad?

  • Se trata de elegir un punto al azar entre 0 y 2, como el área debe ser 1, la altura del rectángulo será 1/2

Calcula:

  • P(X £ 0,5)

  • P(0,5 £ X £ 1,25)

Cambia el valor de a y b y calcula el área
ahora se reduce a la de un rectángulo,
fíjate que b debe ser mayor que a

Si la cuerda mide 3 m ¿cuál sería ahora la función de densidad?, ¿y la probabilidad de cortar la cuerda de forma que uno de los trozos mida como máximo 1 m? (Utiliza la escena anterior cambiando m y n)

Sea X el momento elegido al azar en que una persona llega a una cita entre la 1 y las 2 de la tarde.

¿Cuál es en este caso la función de densidad?

¿Cuál es el valor medio esperado?, ¿con qué desviación típica?

Calcula la probabilidad de que llegue en la primera media hora  P(X £ 1,5)

Calcula la probabilidad de que aparezca en los últimos 15 minutos P(1,75 £ X £ 2)

 

La distribución exponencial

Las distribuciones exponenciales se utilizan como modelo para representar tiempos de funcionamiento o tiempos de espera. Su función de densidad que depende de un parámetro k es de la forma f(x)=ke-kx  

La variable X representa el tiempo en horas que una persona tarda en realizar determinado trabajo y sigue una distribución exponencial con parámetro 2

¿Cuál es el tiempo medio en que se espera realice dicho trabajo?

¿Cuál es la probabilidad de que lo realice en menos de 30 minutos?, ¿y en más de 1 hora?

En este caso para calcular el área hay que recurrir a calcular la integral, pero puedes ver el resultado dando los valores adecuados a a, b

El tiempo, en meses, de espera en determinado servicio sanitario se distribuye exponencialmente con media  2; ¿cuál es la función de densidad?, ¿y la probabilidad de que un paciente espere menos de 1 mes, ¿y entre 2 y 4 meses? (Utiliza la escena anterior cambiando k)

 

 

Mª José García Cebrian

 

 

 

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000