APLICACIONES DE LA DERIVADA

PUNTOS SINGULARES

Ejemplos 

Ejercicios de aplicación

Diremos que una función y=f(x) tiene un PUNTO SINGULAR en xo cuando f'(xo)=0

En este caso sabemos que la tangente a la curva en xo es horizontal.

También has visto que dependiendo del signo de f''(xo) puede haber un máximo o un mínimo relativo, pero que si f''(xo) es 0, a su vez, quizás haya un punto de inflexión.

Entonces, ¿qué ocurre cuando las derivadas sucesivas se anulan en xo?

 

Veamos un par de ejemplos:

Observa la escena donde está representada la función y=x4 

  • Como puedes ver en el gráfico f alcanza un mínimo en x=0

  • La derivada y'=4x3 se anula en x=0
    la derivada segunda   y''=12x2 también se anula en x=0 y la derivada tercera y'''=24x ; siendo la derivada cuarta la primera distinta de cero y además positiva

  • Observa que la primera derivada que no se anula en x=0 es de orden PAR

Si la primera derivada que no se anula en xo es de orden PAR, f tendrá un máximo ó un mínimo en xo según sea ésta negativa o positiva.

 

Observa la escena donde está representada la función y=x5 y su derivada y'=5x4

  • Como puedes ver en el gráfico f tiene en x=0 un punto de inflexión

  • Observamos que la derivada se anula en x=0,
    la derivada segunda   y''=20x3 también se anula en x=0 y la derivada tercera y'''=60x2 y la cuarta; siendo la derivada quinta la primera distinta de cero.

  • Observa que la primera derivada que no se anula en x=0 es de orden IMPAR

Si la primera derivada que no se anula en xo es de orden IMPAR f tendrá en xo un punto de inflexión.

 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Estudia los puntos singulares de la función
  f(x)=x4-2x3

  • Calcula f'(x) y resuelve la ecuación: f'(x)=0

  • Calcula f''(x) y  su valor para las soluciones de f'(x)=0

  • Si f''(x) también se anula para alguno de los valores obtenidos calcula f'''

  • En la escena están dibujadas f'(x) y f''(x)

  • ¿En qué puntos corta f'(x) al eje OX?.

  • ¿Cómo es f''(x) en estos puntos?

  • Observa el valor de las derivadas sucesivas cuando f'(x)=0 y f''(x)=0

  • Al cambiar el valor de x se dibujará  
    y=f(x)    , y observarás su comportamiento.

 

2) Estudia los puntos singulares de la función
  f(x)=x4ex

  • Calcula f'(x) y resuelve la ecuación: f'(x)=0

  • Calcula f''(x) y  su valor para las soluciones de f'(x)=0

  • Si f''(x) también se anula para alguno de los valores obtenidos calcula f''' y si es necesario las derivadas sucesivas

  • En la escena están dibujadas f'(x) y f''(x)

  • ¿En qué puntos corta f'(x) al eje OX?.

  • ¿Cómo es f''(x) en estos puntos?

  • Observa el valor de las derivadas sucesivas cuando f'(x)=0 y f''(x)=0

  • Cambia el valor de x y se dibujará y=f(x)

 

María José García Cebrian

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000