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9.- Composición de funciones
Si una función f(x) consiste en hallar el seno de x
 y otra función g(x) consiste en extraer la raíz cuadrada de x, la función g[f(x)] consistirá en extraer la raíz cuadrada del seno de x.
 

x

f -> sen

f(x)=sen(x)

 La función g[f(x)] es la compuesta de f -> sen y 

En esta escena están representadas las funciones  f(x) = sen(x)     También pueden verse los puntos  P[a,f(a)] de la función f(x)  Q[a,g(a)] de la función g(x) y  R{a,g[f(a)]} de g[f(x)]  Observa para cada valor de   x = a, cómo se calcula la ordenada del punto R de la función compuesta de f y g, y escribe en tu cuaderno la respuesta a las siguientes preguntas:   a)¿para qué valores de x desaparece el punto R y no existe la función compuesta?  b)¿por qué ocurre esto?

En general, dadas dos funciones f y g
 

x	f	f(x)	g	g[f(x)]
g o f

La función  g o f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[f(x)]

EJERCICIO 12
Si f(x) = 3x+5 y , ¿cuánto vale f(4)? ¿y g(2)? Calcula g[f(4)] y g[f(0.5)]. ¿Cuál es la función   g o f(x)?
Haz este ejercicio en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente Volver al índice

10.- Función inversa de otra
 Si una función f consiste en elevar al cuadrado
 y otra función g consiste en extraer la raíz cuadrada, cada una neutraliza lo que hace la otra.
 

x	f	x2	g
x	g		f

Las funciones f y g son una inversa de la otra  

En esta escena están representadas las funciones     f: y = x2 para x>0  g: y =   que son una inversa de la otra.  Fíjate bien en las coordenadas de los puntos   P  de f  y  Q de g (puedes mover el punto P arrastrándolo con el ratón) y escribe en tu cuaderno la respuesta a las siguientes preguntas:  Si P(a,b) ¿cuáles son las coordenadas de Q?  Consecuencia de ello, si te fijas en la escena, las gráficas de f y g son simétricas respecto a la recta y = x

A la función inversa de f, se le llama f -1, y se cumple que: Si f(a)=bf -1(b)=a Como consecuencia se dan las relaciones siguientes: (f -1o f)(x)=x            (f o f -1)(x)=x

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10.1.- Método para hallar analíticamente la función inversa de otra
Tenemos la función y = f(x), y queremos hallar su inversa.
1) Se intercambian la x y la y en la expresión inicial: y = f(x)x = f(y)
2) Se despeja la y en la nueva expresión: x = f(y)y = f ^-1(x)

EJEMPLO: y = 2x
1) Cambiamos la x por la y, nos queda entonces x = 2y
2) Despejamos la y, nos queda entonces 
Por tanto la función inversa de y = 2x es 

EJERCICIO 13
Más abajo tenemos una escena con tres funciones.
y = 2*x (y=2x)
y=x
y=x/2 ()
La segunda, o sea y=x, no la puedes cambiar, las otras dos sí. (Más adelante te explicaré cómo)
Ya te habrás dado cuenta que en la escena no se pueden escribir las fórmulas de las funciones tal como las escribes en el papel.
Así la función y=2x, se escribe y=2*x (siempre hay que poner el signo de multiplicar *)
Y la función , se escribe y=x/2 (pues hay que escribir en una sola línea)
Estas dos funciones que aparecen en el inicio de la escena, son una la inversa de la otra, según hemos visto en el ejemplo anterior. Por tanto sus gráficas son simétricas respecto a la recta y = x, como podrás observar en la escena.

En este ejercicio tienes que deducir en tu cuaderno la inversa de algunas funciones, ecribir cada función y su inversa en la parte inferior de la escena, sustituyendo a las iniciales y = 2x e , y comprobar que sus gráficas son simétricas respecto a y = x.
Para introducir en la escena cada función y su inversa, basta que borres las iniciales y escribas las nuevas, y a continuación des a la tecla ENTER. Todas las funciones hay que escribirlas en forma explícita, o sea con la y despejada.
La función que está en azul deja rastro, así que tendrás que dar al botón LIMPIAR para que se borre la anterior.
Cuando la función de la que quieres hallar la inversa contiene x², al despejar hallarás dos raíces cuadradas, una con + y otra con -, en estos casos no te conviene limpiar para ver las dos raíces a la vez.
Algunos ejemplos de cómo escribir las funciones en la escena:
 

y = x2	y=x^2 (el símbolo ^ se obtiene con Alt-94)
y =	y=x^(1/2)
y = 5x + 1	y=5*x+1
	y = 3/(x-1)
	y=(x^2+8)/9
	y=(x^3)/5-2
y = ln(3x-1) (ln es logaritmo neperiano, o sea de base el número e)	y=log(3*x-1)
y=log(x2) (log es logaritmo decimal, o sea de base 10)	y=log10(x^2)
y = e2x	y=e^(2*x)
y = log3x (log3 es logaritmo de base 3)	y=log(x)/log(3)

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Autora: Ángela Núñez Castaín

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000