Problemas de Programación Lineal
1.- Problema del Transporte
La formulación general de este problema es:
Un cierto producto se elabora en varios centro, n, en su producción intervienen los productor a1, a2, ......, as y deben ser enviados a m destinos cuyo coste por envío desde cada planta a cada destino son conocidos y se deben enviar en cantidades b1, b2,....., bs. Se debe minimizar el coste total del transporte.
Ejercicio1: Una fabrica de jamones tiene dos secaderos A y B que producen 50 y 80 jamones por mes. Se distribuyen a tres tiendas de las ciudades M, N y O cuya demanda es 35, 50 y 45 respectivamente. El coste del transporte por jamón en euros se ve en la tabla siguiente:
| M | N | O | |
| A | 5 | 6 | 8 |
| B | 7 | 4 | 2 |
Averigua cuántos jamones deben enviarse desde cada secadero a cada tienda para hacer mínimo el gasto en transporte .
En primer lugar debemos plantear el problema: sean x e y los jamones que salen del secadero A para las tiendas de M y N, en la tabla siguiente mostramos la distribución:
| M | N | O | |
| A | x | y | 50-x-y |
| B | 35-x | 50-y | 45-(60-x-y) |
como todas estas condiciones deben ser positivas se deduce que las restricciones del problema son: x³0; y³0; 50-x-y³0; 35-x³0; 50-2y³0; 45-(60-x-y)³0.
simplificando queda x³0; y³0; x+y£50; x£ 35; y£ 25; x+y£15.
La función coste que se obtiene multiplicando los elementos de la tabla de coste por los de la tabla de distribución y simplificando queda C(x,y)=815-8x-8y.
Observa la escena siguiente y encuentra las posibles soluciones.
2.- Problema de la Dieta
La formulación general de este problema es:
Para que una dieta sea equilibrada, deben ingerirse n elementos nutritivos básicos, en en cantidades mínimas b1, b2,....., bs. estos elementos se encuentran en m alimentos. Conocemos cual es la cantidad de cada elemento en cada unidad de cada uno de los alimentos y el coste de la unidad de cada alimento. Se debe minimizar el coste de la dieta pero cubriendo las necesidades nutritivas mínimas.
Ejercicio 2. En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinado grupo de enfermos con dos alimentos A y B. Estos alimentos contienen tres principios nutritivos: NI, N2 y N3. Una unidad de A vale 100 pesetas y contiene 2 unidades de NI, 1 de N2 y 1 de N3. Una unidad de B vale 240 pesetas y contiene 1, 3, y 2 unidades de NI, N2 y N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo necesita diariamente al menos 4, 6 y 5 unidades de NI, N2 y N3 respectivamente. Se pide:
a) Plantear un problema de programación lineal que permita determinar las cantidades de alimentos A y B que dan lugar a la dieta de coste mínimo.
organizamos los datos en una tabla de doble entrada
Cantidad de alimento |
N1 |
N2 |
N3 |
Precio |
|
| A | x |
2x | x | x | 100x |
| B | y |
y | 3y | 2y | 240y |
| 4 | 6 | 5 |
El gasto a minimizar es G(x,y)=100x+240y y las restricciones serán: 2x+y³4; x+3y³6; x+2y³5; x³0; y³0
b) Resolver el problema del apartado anterior.
Observa la siguiente escena y moviendo la recta objetivo intenta encontrar las soluciones del problema.
Autor: Antonio Caro Merchante
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||