INTRODUCCIÓN
Durante los meses de Mayo y Junio, el contribuyente español tiene que presentar su correspondiente declaración de la renta. La utilización del programa de ayuda de la Agencia Tributaria ha simplificado mucho la realización de la misma. Quien tenga que realizarla a mano, con bolígrafo y calculadora, se encontrará de repente ante una tabla como la siguiente: 

¿Cómo se quedarían los contribuyentes si, en vez del ejemplo, la Agencia Tributaria les diera una tabla con sólo las dos primeras columnas y les dijera sencillamente que calcularan la cuota íntegra utilizando interpolación lineal?

EL PROBLEMA DE LA INTERPOLACIÓN
Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de valores. Esto puede suceder, por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. También puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya conocidos.

Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica.

Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que estamos haciendo extrapolación.

Siempre que se utiliza un valor aproximado se está cometiendo un error. El estudio del error queda fuera de los límites del curso al que está dirigido esta unidad didáctica.

LA INTERPOLACIÓN LINEAL
La interpolación lineal es la forma más simple de interpolar. Consiste en aproximar la función desconocida mediante una función lineal a trozos, es decir, si los puntos conocidos de la función son:

la gráfica de la función lineal a trozos estará formada por los segmentos que unen cada punto con el siguiente. Esto se ve mejor en la siguiente escena en la que se representa la tabla anterior. Por cuestiones prácticas, las unidades de los ejes coordenados representan millones de pesetas.

La escena contiene un control y dos parámetros que se corresponden con las coordenadas del control.

Ejercicio 2: Realizar el ejercicio 1 utilizando el control y/o los parámetros de la escena. ¿Qué diferencia hay entre el valor obtenido en la escena y el que antes se calculó? En términos relativos, ¿es grande o pequeña?

Ejercicio 3: Mediante la escena, calcula la base imponible de un contribuyente cuya cuota íntegra es de 2.345.678 ptas., posteriormente, mediante la tabla, hállese el valor exacto.

La ecuación general de una recta es: y=mx+n. Si determinamos los valores de m y n, habremos calculado la ecuación. Como la recta pasa por el punto (4.643.000, 942.710) y por (5.812.000, 1.300.424), se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Para resolver la ecuación anterior y los ejercicios que siguen es conveniente ayudarse de una calculadora.

Ejercicio 4: Calcular la cuota íntegra de los valores del ejercicio 1 utilizando interpolación lineal. ¿Se han obtenido los mismos valores que cuando se realizó siguiendo el ejemplo? La respuesta debe ser sí, si no, algo ha fallado. ¿A qué corresponde, en terminología de la recta, la columna de porcentajes de la tabla?

Ejercicio 5: Resolver el ejercicio 3 utilizando interpolación lineal.

LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Si en vez de utilizar rectas (polinomios de primer grado) utilizamos polinomios de segundo grado para interpolar, estaremos realizando interpolación cuadrática. Para la interpolación lineal utilizábamos dos puntos, pues dos puntos determinan una recta; ahora necesitaremos tres puntos para determinar la correspondiente parábola. Empezaremos con un ejemplo con números mas pequeños para ilustrar como realizar la interpolación cuadrática, y observar los problemas que se nos plantean.

Supongamos que de una determinada función conocemos los puntos dados por la siguiente tabla:

Razonando como en el caso de interpolación lineal, la ecuación general de una parábola es: y=ax²+bx+c. Si determinamos los valores de a, b y c, habremos calculado la ecuación. Como la parábola pasa por los puntos (-1, 6), (2, 3) y (3, 10), se tiene, sustituyendo cada punto en la ecuación general de la parábola, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Observación: Si los tres puntos están alineados, a valdrá 0 y tendremos un polinomio de primer grado. Incluso podría pasar que también b fuera 0, y en tal caso el polinomio sería de grado 0. En general, dados n+1 puntos con abscisas distintas, se puede probar que siempre hay un polinomio de grado menor o igual que n que pasa por ellos.

Como los números del ejemplo son enteros, y está preparado para que salgan soluciones enteras, no habrá habido muchas dificultades para resolverlo bien. Sin embargo, si la tabla de datos hubiera sido la siguiente:

Es fácil comprender que si intentamos hacer interpolación mediante un polinomio de 3º, 4º ... el sistema de ecuaciones correspondiente se hará cada vez más tedioso de resolver.

Para soslayar este problema se han ideado varios métodos que permiten calcular el polinomio interpolador de forma más sencilla que resolviendo un sistema de ecuaciones análogo al anterior. Veremos a continuación un método ideado por Newton.

MÉTODO DE NEWTON
La idea de Newton consiste en expresar el polinomio interpolador de la forma y=c₀+c₁·(x-x₀)+c₂·(x-x₀)·(x-x₁) y, sustituyendo sucesivamente (x₀, y₀), (x₁, y₁) y (x₂, y₂), calcular c₀, c₁ y c₂. Se comprenderá mejor realizando el ejemplo anterior mediante el método de Newton.

Observación: Puesto que la búsqueda del polinomio tiene como fin el cálculo de valores aproximados y éstos se pueden realizar a partir de la expresión y=c₀+c₁·(x-x₀)+c₂·(x-x₀)·(x-x₁), no es necesario, ni conveniente en la mayoría de los casos, desarrollar la expresión anterior hasta obtener el polinomio expresado en forma reducida.

En el ejemplo: (x₀, y₀)=(-1, 6), (x₁, y₁)=(2, 3) y (x₂, y₂)=(3, 10). Por lo tanto nuestro polinomio será de la forma:

Sustituimos primero (-1, 6) en la expresión anterior: 6=c₀+c₁·(-1+1)+c₂·(-1+1)·(-1-2) y obtenemos c₀=6.

Ponemos en vez de c₀ su valor y sustituimos (2, 3) quedando: 3=6+c₁·(2+1)+c₂·(2+1)·(2-2). Resolviendo esta sencilla ecuación de primer grado obtenemos c₁=-1.

Sustituimos, por último, c₀ y c₁ por sus valores y (3, 10), resultando: 10=6-1·(3+1)+c₂·(3+1)·(3-2). Esta ecuación nos da como solución c₂=2.

Luego nuestro polinomio interpolador será:

y para hallar el valor correspondiente a x=1,5 haríamos y(1,5)=6+(-1)·(1,5+1)+2·(1,5+1)·(1,5-2)=1

Ejercicio 6: Si hacemos operaciones en la expresión anterior y reducimos los términos lo más posible, ¿qué polinomio obtendremos? Escríbase la solución antes de realizar los cálculos.

Ejercicio 7: Ayudándose de una calculadora, obténgase, utilizando el Método de Newton, el polinomio de segundo grado que pasa por los puntos dados en la tabla:

La siguiente escena realiza todos los cálculos correspondiente a la interpolación cuadrática mediante el Método de Newton. Debemos suministrarle los valores de los polos y el valor de x para el cual queremos obtener un valor aproximado de la función. Utilícese para comprobar los dos ejercicios anteriores y para resolver los que vengan en el futuro.

Ejercicio 9: ¿Cómo será la expresión del polinomio interpolador de Newton para un polinomio de primer grado? ¿Se puede hallar dicho polinomio con la escena anterior?

CÁLCULO DE x^1/3 MEDIANTE INTERPOLACIÓN
En este apartado utilizaremos la interpolación para realizar cálculo aproximado de valores de una función utilizando como ejemplo la función y=x^1/3, es decir, la función raíz cúbica. En particular, haremos el cálculo de 2^1/3.

Basta observar que 1³=1; 1,2³=1,728 y 1,4³= 2,744 para ver que la tabla:

Ejercicio 10: Calcular mediante interpolación lineal 2^1/3. Utilizar los puntos (1,728, 1,2) y (2,744, 1,4).

Ejercicio 11: Calcular mediante extrapolación lineal 2^1/3. Utilizar los puntos (1, 1) y (1,728, 1,2).

Ejercicio 12: Calcular mediante interpolación cuadrática 2^1/3.

Espero que no sea necesario recordar que para realizar los cálculos se puede usar la escena del apartado anterior.

En la escena que a continuación viene, sustituir cada una de las funciones que se encuentran en ellas por las que se han obtenidos en los ejercicios anteriores. Si los ejercicios se han realizado correctamente, los polinomios obtenidos deberán pasar por los puntos de la tabla. Utilizar el control para visualizar, de forma aproximada, los valores de las funciones que corresponden a x.

Ejercicio 14: Utilizando una calculadora, hallar 2^1/3 y comparar los resultados obtenidos en los ejercicios precedentes con el dado por la calculadora.

Ejercicio 15: Calcular la raíz cúbica de 0,5 mediante interpolación cuadrática. Cada persona que emprenda este ejercicio deberá construir su propia tabla. Representar el polinomio obtenido en la escena anterior.

POLINOMIOS DE LAGRANGE
Dados tres puntos (x₀, y₀), (x₁, y₁) y (x₂, y₂) (de abscisas distintas) llamamos Polinomios de Lagrange a los siguientes:

Ejercicio 16: Dados los puntos (x₀, y₀)=(-1, 6), (x₁, y₁)=(2, 3) y (x₂, y₂)=(3, 10), contruir el polinomio interpolador de Lagrange P(x) y, sin desarrollar P(x), hallar P(1,5). Simplificar la expresión anterior lo más posible. Antes de realizar la simplificación, ¿cuál será el polinomio resultante?

La próxima escena nos mostrará gráficamente todos los polinomios involucrados en los párrafos anteriores. La escena se podrá modificar utilizando tanto los parámentros como los controles que en ella figuran.

Nota: Si se desea, se pueden eliminar los polinomios P_k(x) de la escena sustituyendo su nombre por una simple letra.

Ejercicio 18: Calcular mediante interpolación lineal y cuadrática 2^1/3 y 0,5^1/3 utilizando el Polinomio Interpolador de Lagrange. Utillizar la escena para visualizar el polinomio de 2º grado obtenido. En la escena, eliminar los polinomios P_k(x) y poner en lugar de uno de ellos la función y=x^1/3 para observar como se aproxima el polinomio interpolador de 2º a la función.

Ejercicio 19: Escribir los polinomios interpoladores de Newton y de Lagrange de 3º y 4º grado.

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000