Sistemas de ecuaciones lineales.

Interpretación gráfica.

Sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro

Sea el sistema:

3 x + m y = -2
2 x - y = 4

donde la primera ecuación representa a una familia de rectas, una para cada valor de m.

Se trata de determinar las soluciones del sistema para los distintos valores del parámetro.

1.-Realiza la representación para distintos valores del parámetro m.

Observa la familia de funciones, que en este caso es un haz de rectas concurrentes, y las soluciones de cada sistema.

żSon todos los sistemas compatibles determinados?

Análisis de un sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro

Consideremos el sistema anterior:

4 x + m y = -2
2 x - y = 4

para determinar la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro hay que basarse en la relación siguiente:

Relación entre
los coeficientes

Compatibilidad
Solución

a1/a2 ą b1/b2

Compatible determinado
Solución única

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

Compatible indeterminado
Infinitas soluciones

a1/a2 = b1/b2 ą c1/c2

Incompatible
No hay solución

En este caso hay que comprobar qué relación hay entre las fracciones:

4/2; m/-1; -2/4

Se resulve la ecuación que resulta de igualar las dos primeras fracciones:

4/2=m/-1 Ţm = -2

Es decir que si m ą -2, entonces 4/2ąm/-1 y por lo tanto el sistema es compatible determinado.

Pero si m = -2, entonces 4/2 = m / -1 ą -2/4 y por lo tanto el sistema es incompatible.

Analiza los siguientes sistemas:

2m x - y = ˝

2 x - 2 y = 1

 

2.- Observa cómo son las soluciones de casi todos los sistemas.

żSabrías explicar por qué?

m x + m y = - 1

x + y = 2

 

3.- En este caso el parámetro genera un haz de rectas paralelas.

żPor qué?

- x - m y = 0

x + m y = 2

 

4.- Ahora hay dos haces de rectas, para cada valor del parámetro las rectas permanecen paralelas entre sí. żPor qué?

m x + y = 4

2 x + 2 m y = 5

 

5.- En este caso hay dos haces de rectas concurrentes.

x - m y = m+1

x + y = 0

 

6.- Ahora hay un haz de rectas concurrentes y otro de rectas paralelas.

Observa la curva que describen los puntos que son solución de los diferentes sistemas.

Autor: Juan Madrigal Muga

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Ańo 2000