Ecuaciones lineales.

Interpretación gráfica.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Se llama ecuación lineal con dos incógnitas a cualquier expresión de la forma:

a x + b y = c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y x e y son las incógnitas.

1.- Cambia los valores de a, b y c y observa que el conjunto de soluciones (x,y) de la ecuación lineal con dos incógnitas es una recta. (Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir los valores que quieras para a, b y c).

¿Hay alguna ecuación lineal con dos incógnitas que no tenga por solución los puntos de una recta?

¿Cualquier recta tendrá asociada siempre una ecuación lineal?

Rectas y ecuaciones lineales.

Dada cualquier recta siempre existe una ecuación lineal asociada.

2.- Mueve los puntos a cualquier posición y observa que para cada recta se obtiene una ecuación.

¿Cómo son las ecuaciones de las rectas horizontales? ¿Y las de las verticales?

¿Habrá más de una ecuación para cada recta?

Ecuaciones equivalentes.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

En el caso de las ecuaciones lineales con dos incógnitas, las soluciones son los puntos de su recta asocida, por lo tanto dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son equivalentes si se representan con la misma recta.

3.- Busca ecuaciones que sean equivalentes pero no idénticas, es decir que la recta naranja y la blanca se superpongan sin que sean iguales los coefientes. (Modifica los valores a, b y c o mueve los puntos A y B).

Intenta encontrar un método para conseguirlo con facilidad.

¿Cómo son los coeficientes de las ecuaciones equivalentes? ¿Y si uno o más coeficientes son nulos?

Determinación de ecuaciones equivalentes

Hay infinitas ecuaciones equivalentes a una dada, todas ellas tienen sus coeficientes proporcionales:

a/a' = b/b' = c/c' (si a'¹0, b'¹0, c'¹0)

si algún coeficiente es cero también será nulo el que le corresponde en todas sus ecuaciones equivalentes.

4.- Observa que las ecuaciones equivalentes tienen sus coeficientes proporcionales.

¿Qué pasará con las rectas horizontales? ¿Y con las verticales? ¿Y con las que pasan por el origen de coordenadas?

Ecuaciones lineales con dos incógnitas con coeficientes proporcionales.

La condición necesaria y suficiente para que dos ecuaciones lineales: (ax+by=c) y (a'x+b'y=c') sean equivalentes es que sus coeficientes sean proporcionales, es decir que: a'=ma; b'=mb; c'=mc.

5.- Comprueba el teorema anterior utilizando las ecuaciones y las rectas y explica cómo lo haces en cada uno de los casos:

• La condición es necesaria.

• La condición es suficiente.

Autor: Juan Madrigal Muga

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000