APLICACIONES DE LA DERIVADA

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

 

Máximos y mínimos relativos

Cálculo de los máximos o mínimos 

Ejercicios de aplicación

Problemas de optimización

Diremos que una función y=f(x) alcanza un MÁXIMO en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)£f(xo)

Análogamente diremos que alcanza un MÍNIMO en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)³f(xo)

 

  

Veamos qué ocurre cuando tratamos con funciones derivables.

 

 

Máximos y mínimos relativos

Sea f una función derivable,

Diremos que una función y=f(x) alcanza un MÁXIMO relativo en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)£f(xo)

  • Comprueba en la escena que la función pasa de ser CRECIENTE a ser DECRECIENTE

  • Observa que este caso la tangente es horizontal

Si f es derivable será:

 

Análogamente diremos que alcanza un MÍNIMO relativo en xo cuando existe un entorno de xo en el que f(x)³f(xo)

  • Comprueba en la escena que la función pasa de ser DECRECIENTE a ser CRECIENTE  

  • Observa que también en este caso la tangente es horizontal

Si f es derivable será: 

 
Si una función es derivable y alcanza en xo un máximo o un mínimo, entonces f'(xo) = 0

Esta condición es necesaria pero no suficiente ya que puede ocurrir que una función tenga derivada nula en un punto pero no tenga en ese punto ni máximo ni mínimo

 

Observa ahora la escena donde están representadas una función y=f(x),su derivada y=f'(x) y la derivada segunda y=f''(x)

 

  • Comprueba, cambiando el valor de x en la escena, que f alcanza un máximo en x=-1 y un mínimo en x=1.

  • ¿Qué valores alcanzan el máximo y el mínimo?.

  • ¿Qué relación observas entre el signo de la segunda derivada y que f alcance un máximo o un mínimo?.
f'(xo) = 0 y f''(xo)< 0, f tiene un máximo en xo
f'(xo) = 0 y f''(xo)>0, f tiene un mínimo en xo

 

Cálculo de los máximos y mínimos relativos de una función

En la escena están representadas la función
f(x)=x4-2x2+1, su derivada f'(x)=4x3-4x y la derivada segunda f''(x)=12x2-4

Para calcular los extremos relativos procederemos:

  • Resolvemos la ecuación: f'(x)=4x3-4x=0  

  • Soluciones: x=-1,x=0,x=-1

  • Calculamos el signo de la segunda derivada en estos valores

    • Comprueba, cambiando el valor de la x que los resultados son:

x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0  mínimo en (-1,-2)

x=0, f'(x)=0, f''(x)<0  máximo en (0,-1)

x=1, f'(x) = 0, f''(x)>0  mínimo en (1,-2)

 

La escena muestra la función y=2x/(x2+1) y su derivada y=f'(x)

  • Cambia el valor de x y observarás que se dibuja otra gráfica, corresponde a f''(x)

  • Calcula la derivada: f'(x)

  • Resuelve la ecuación: f'(x)=0

  • Comprueba que las soluciones son:  x=1, x=-1

  • ¿Qué signo presentan f''(1) y f''(-1)?

 

x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0   mínimo en (-1,1)

x=1, f'(x)= 0, f''(x)<0  máximo en (1,1)

 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Calcula los extremos relativos de la función f(x)=(x2-3)ex-1

  • Calcula f'(x) y resuelve la ecuación: f'(x)=0

  • Calcula f''(x) y  su signo en estos valores

  • Para comprobar el resultado introduce el valor de f'(x) y de f''(x) en la escena (recuerda que debes escribir todos los signos, emplear, * para el producto,  ^ para las potencias y exp(x-1) para ex-1).

  • ¿En qué puntos corta f'(x) al eje OX?.

  • ¿Cómo es f''(x) en estos puntos?

  • Cambia el valor de x, se dibujará y=f(x) y podrás observar su comportamiento.

 

2) Calcula los extremos relativos de la función f(x)=x3/(x2-3)

  • Calcula f'(x) y resuelve la ecuación: f'(x)=0  

  • Calcula f''(x) para los valores obtenidos

    • Para comprobar el resultado introduce el valor de f'(x) y de f''(x) en la escena.

    • ¿En qué puntos corta f'(x) al eje OX?.

    • ¿Cómo es f''(x) en estos puntos?

    • En este caso, ¿qué ocurre en x=0?

    • Si cambias el valor de x se dibujará y=f(x) y podrás observar su comportamiento.

 

3) Calcula el valor de a para que la función
f(x)=x3+ax tenga un extremo relativo en x=1. ¿Será un máximo o un mínimo?

  • Calcula f'(x) y resuelve la ecuación: f'(1)=0  

  • Para el valor de a obtenido ¿cuánto vale f''(1)?

  • En x=1, ¿hay máximo o mínimo?

  • Cambia el valor de a en la escena hasta conseguir que el punto rojo esté sobre el eje de abscisas.¿Cuánto vale a?

  • Ahora f'(x) es 0 en x=a. Cambia el valor de x y se dibujará y=f(x), así podrás comprobar si en x=1 hay máximo o mínimo.

 

María José García Cebrian

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000