APLICACIONES DE LA DERIVADA

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

 

La derivada y el crecimiento

Cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Ejercicios de aplicación

Una de las primeras aplicaciones de la derivada la tenemos en el estudio del crecimiento y decrecimiento de una función.

La idea gráfica de cuando una función crece o decrece ya la conoces.

 

 

 

Relación entre la derivada y el crecimiento o decrecimiento de una función

Sea f una función derivable,

Diremos que una función y=f(x) es CRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que: 

si x£xo entonces f(x)£f(xo)

y si xo£x entonces f(xo)£f(x)

  • Comprueba, cambiando el valor de x en la escena que este caso signo[f(x)-f(xo)] = signo[x-xo]

Si f es derivable será:
Si una función es derivable y creciente en 
xo entonces f'(xo) ³ 0

Diremos que una función y=f(x) es DECRECIENTE en xo cuando existe un entorno de xo tal que: 

si x£xo entonces f(x)³f(xo)

y si xo£x entonces f(x)£f(xo)

  • Cambia el valor de x en la escena para comprobar que ahora signo[f(x)-f(xo)] ¹ signo[x-xo]

En este caso:
Si una función es derivable y decreciente en xo entonces f'(xo)£ 0

 

Observa ahora la escena donde están representadas una función y=f(x) y su derivada y=f'(x)

  • Comprueba, cambiando el valor de x en la escena, que f es creciente si x<1 y decreciente si x>1

Recuerda que la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

  • ¿Cómo es la pendiente de la recta tangente mientras la función es creciente?, ¿y cuando es decreciente?

  • ¿Qué relación observas entre el signo de la derivada y el crecimiento o decrecimiento de la función?
Si f'(xo) > 0, entonces f es creciente en xo 
Si f'(xo)< 0, entonces f es decreciente en xo

 

Cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

En la escena están representadas la función
f(x)=x3-3x+1 y su derivada f'(x)=3x2-3

  • Comprueba, a la vista del signo de la derivada si la función es creciente o decreciente en x=-1,5   x=0   x=2

Para calcular en qué intervalos la función es creciente o decreciente procederemos:

  • Resolvemos la ecuación: f'(x)=0  

  • Soluciones: x=1, x=-1

  • Calculamos el signo de la derivada antes y después de estos valores

x<-1, f'(x)>0, f creciente en (-¥,-1)

-1<x<1, f'(x)<0, f decreciente en (-1,1)

x>1, f'(x) > 0, f creciente en (1,+¥)

 

La escena muestra la derivada y=f'(x) de la función y=x+1/x

  • Observa, a la vista del signo de la derivada, el comportamiento de la función. ¿En qué puntos corta la función derivada al eje OX?. ¿Qué ocurre en x=0?

  • Calcula la derivada, resuelve la ecuación f'(x)=0

  • Comprueba que las soluciones son:  x=1, x=-1

  • Si cambias el valor de x se dibujará y=f(x) y podrás observar su comportamiento.

x<-1, f'(x)>0, f creciente en (-¥,-1)

-1<x<0, f'(x)<0, f decreciente en (-1,0)

0<x<1, f'(x)<0, f decreciente en (0,1)

x>1, f'(x) > 0, f creciente en (1,+¥)

 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)=x4-2x2

  • Calcula f'(x) y resuelve la ecuación: f'(x)=0  

  • Calcula el signo de la derivada antes y después de estos valores

  • Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento

     

    • Para comprobarlo introduce la expresión f'(x) en la escena (fíjate que debes escribir todos los signos y emplear ^ para las potencias, después pulsa INTRO y se dibujará, debe aparecer sobre la curva gris, en caso contrario revisa tus cálculos)

    • ¿En qué puntos corta esta función al eje OX?. 

    • Cambia el valor de x y se dibujará f,así podrás comprobar el resultado.

 

2) La producción industrial de un país sigue la función  f(x)=3/(1+e-x) donde x representa los años a partir de 1990. ¿Está creciendo o decreciendo?

  • Calcula f'(x) y resuelve la ecuación: f'(x)=0  

  • ¿Cómo es en este caso la función?

    • Introduce el valor de f'(x) en la escena (e-x se escribe  exp(-x)). ¿Corta esta función al eje OX?. 

    • Si cambias el valor de x se dibujará y=f(x) y podrás observar su comportamiento y comprobar tus resultados.

 

3) Las temperaturas en cierta ciudad el día de Año Nuevo siguen la fórmula f(x)=-x(x-26)/13 siendo x el número de horas a partir de medianoche. ¿En qué parte del día la temperatura desciende?

  • Calcula f'(x) y resuelve la ecuación: f'(x)=0  

  • ¿A partir de qué valor de x, f'(x)<0?

    • Como antes introduce el valor de f'(x) en la escena. ¿Dónde corta esta función al eje OX?, ¿para qué valores de x es negativa?.

    • Al cambiar el valor de x se dibujará y=f(x) y podrás comprobar el resultado.

 

María José García Cebrian

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000