VECTORES
 
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6.- Suma y Resta de vectores en un paralelogramo
 
Si colocamos u y v con origen común y completamos un paralelogramo: 
  • La diagonal cuyo origen es el de u y v es el vector suma, u+v
  • La diagonal que va del extremo de v al extremo de u es u-v
Para entenderlo mejor recuerda el primer método de sumar vectores y la igualdad de vectores: 
    u+v = AB + BC = AC = u+v
    u-v = u+(-v) = DC + CB = DB = u-v
 
 EJERCICIO 9
1.- Dibuja en tu cuaderno los vectores que aparecen en esta escena 

2.- Anota las componentes de los vectores u, v, a y b 

3.- Calcula las componentes de u+v, u-v, a+b y a-b 

4.- Dibuja en el cuaderno, dentro de cada paralelogramo los vectores u+v, u-v, a+b y a-b
5.- Pulsando los botones u+v, u-v, a+b y a-b, se dibujarán estos vectores y podrás comprobar si es correcto lo que has dibujado en tu cuaderno 

6.- Comprueba también las componentes de los vectores u+v, u-v, a+b y a-b que aparecen en la escena
 
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7.- Combinación lineal de vectores

En la escena siguiente se van a dibujar los vectores u = 4x + 2y, y v = -2x + y

Se dice entonces que los vectores u y v son combinación lineal de x e y.

Veamos cómo:
 
1.- Cambia el valor de n a n=4. Así se obtiene el vector 4x 

2.- Cambia el valor de m a m=2. Así se obtiene el vector 2y 

3.- Arrastra el punto B, trazando una paralela al vector y 

4.- Arrastra el punto C, trazando una paralela al vector x
5.- Prolongando estas paralelas suficientemente obtienes un paralelogramo cuyos lados son los vectores 4x y 2y. Arrastra el punto A para dibujar la diagonal que representa al vector u = 4x + 2y 

6.- Ahora le das a n = -2 para dibujar el vector -2x 

7.- Arrastra el punto D, trazando una paralela al vector y 

8.- Arrastra el punto E, trazando una paralela al vector x 

9.- Prolongando estas paralelas suficientemente obtienes una paralelogramo cuyos lados son los vectores -2x e y. Arrastra el punto A, de nuevo, para dibujar la diagonal que representa al vector v = -2x + y
 

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8.- Cómo expresar un vector como combinación lineal de otros dos
 
Observa cómo expresamos el vector v como combinación lineal de x e y: 

1.- Colocamos x, y, v con el origen común en el punto P, para ello pulsa en los botones inferiores para dar los valores n=1, m=1, p=1
2.- Desde el extremo de v trazamos primero una paralela al vector x, y luego una paralela al vector y 

3.- Prolongamos los vectores x e y, cambiando los valores de n y m, hasta que corten a las paralelas
4.- Ya tenemos el paralelogramo, donde  
v = nx + my
estos es, ya tenemos escrito v como combinación lineal de x e y 

5.- En nuestro ejemplo ha de quedar 

v = 3x + 2.5y
EJERCICIO 10
Este ejercicio es similar al ejemplo anterior, sólo que ahora las paralelas a los vectores no están prefijadas. 

Hay que escribir el vector x como combinación lineal de u y w. 

1.- Variando los valores de n, m y p coloca los tres vectores con el origen común en el punto A. 

2.- Desde el extremo de x traza las paralelas a u y w (con cuidado, mira bien los cuadritos) 

3.- Prolonga u y w hasta formar el paralelogramo, cambiando los valores de n y m. 

4.- Escribe en tu cuaderno la combinación lineal, o sea 

x = nu + mw
sustituyendo n y m por los valores obtenidos.
 
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Autora: Ángela Núñez Castaín
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Aņo 2000