REPRESENTACIÓN DE CURVAS

FUNCIONES RACIONALES

Representar la función:  y=x-1/x

1) Dominio

  • La función está definida para todo R excepto en x=0

2) Cortes con los ejes y signo

  • Con el eje OY: cuando x=0 la función no está definida luego no tiene corte con este eje.

    Con el eje OX: resolvemos la ecuación x-1/x=0 resultando las soluciones x=-1, y x=1 luego los puntos de corte son: (-1,0) y (1,0)

  • El signo de f(x) antes y después de estos puntos:

x (-¥,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,¥) 
y - 0 +   - 0 +

3) Simetría

  • Se trata de una función IMPAR ya que
    f(-x)=(-x)-1/(-x)=-x+1/x=-f(x)
    por tanto es simétrica respecto al origen.

  • Comprueba lo anterior cambiando el valor de x en la escena o arrastrando el punto rojo con el ratón. Observa como en x=0 la función no alcanza ningún valor.

 

4) Asíntotas

  •  VERTICALES, la recta x=0 ya que

  • HORIZONTALES, no hay puesto que

al ser este límite infinito quizás haya asíntotas

  • OBLICUAS, la recta y=x, pues:

  • Comprueba que cuando x®0- (acercándote a 0 por la izquierda) y®+¥; y que cuando x®0+ entonces y®-¥

 

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

  • Calculamos la derivada y'=1+1/x2

  • La ecuación: 1+1/x2=0 no tiene soluciones reales ya que 1+1/x2>0 por lo que la función es creciente en todo su dominio.

  • La función no tiene máximos ni mínimos relativos

  • Introduce la expresión de f'(x) y pulsa ENTER, se dibujara f', comprueba que efectivamente no corta al eje OX

 

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

  • Calculamos la segunda derivada y''=-2/x3

  • Observamos que la ecuación  y''=-2/x3=0 no tiene soluciones reales por lo que la función no tendrá puntos de inflexión. 

  • Por otra parte

    • Si x<0, -2/x3>0

    • Si x>0, -2/x3<0

    Por tanto la función cambia su concavidad en x=0

x (-¥,0) 0 (0,¥) 
y'' >0   <0
È Ç

  • Introduce la expresión de f''(x) y pulsa ENTER, se dibujara f'' 

  • También puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x en la escena

 

7) Dibujar la gráfica

  • Resumir en una tabla los resultados anteriores ayudará a reflejarlos en la gráfica

x ®-¥ (-¥,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+¥) ®+¥
y AO: y=-x - 0 + AV - 0 + AO: y=x
y' +   +
y'' +   -
/ /
È Ç

  • En la escena está resumida la información anterior. Da a "dibujar?" valor 1 para ver la gráfica de la función.

 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Estudia y representa gráficamente las funciones racionales:

1) f(x)=(1+x)/(1-x)

2) f(x)=x2/(x2-1)

3) f(x)=x3/(x2+1)

  • Estudia y representa las funciones anteriores en tu cuaderno, luego podrás podrás comprobar su gráfica indicando el número en la escena.

 

María José García Cebrian

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000