REPRESENTACIÓN DE CURVAS

FUNCIONES POLINÓMICAS

Representar la función:  y=-x4+2x2+3

1) Dominio

  • El dominio de las funciones polinómicas es todo R

2) Cortes con los ejes y signo

  • Con el eje OY: x=0  y=f(0)=3         PUNTO (0,3)

  • Con el eje OX: resolvemos la ecuación -x4+2x2+3=0
    resultando los PUNTOS (    -Ö3,0) y y (Ö3,0)

  • A partir de estos puntos podemos estudiar el signo de f:

x (-¥,-Ö3) -Ö3 (-Ö3,Ö3) Ö3 (Ö3,¥)
y - 0 + 0 -

3) Simetría

  • Se trata de una función PAR ya que

f(-x)=-(-x)4+2(-x)2+3=-x4+2x2+3=f(x)

por tanto es simétrica respecto al eje OY

  • Comprueba lo anterior cambiando el valor de x en la escena o arrastrando el punto rojo con el ratón. La gráfica estará en las regiones cuadriculadas.

 

  • Comprueba en la escena anterior, dando valores a x muy grandes (x®+¥) o muy pequeños (x®-¥) que en cada caso y®-¥

4) Asíntotas

  •  Las funciones polinómicas no tienen asíntotas

 

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

  • Calculamos la derivada y'=-4x3+4x

  • Resolvemos la ecuación: -4x3+4x=0  

    • Soluciones: x=-1,x=0,x=1

  • Comprobamos el signo de la derivada antes y después de estos valores obteniendo:

x (-¥,-1) -1 (-1,0)  0  (0,1)  1  (1,¥) 
y' + 0 - 0 + 0 -
/ máx \ mín / máx \

  • Para comprobar los máximos y el mínimo calculamos el signo de la segunda derivada en x=-1, x=0, x=1.

  • Introduce la expresión de f'(x) y pulsa ENTER, se dibujara f' 

  • También puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x en la escena

 

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

  • Calculamos la segunda derivada y''=-12x2+4

  • Resolvemos la ecuación y''=-12x2+4=0

    • Soluciones: x=-Ö3/3,  x=Ö3/3

  • Comprobamos el signo de la segunda derivada antes y después de estos valores y obtenemos:

x (-¥,-Ö3/3) -Ö3/3 (-Ö3/3,Ö3/3)  Ö3/3 (Ö3/3,¥)
y'' - 0 + 0 -
Ç inf È inf Ç

  • Introduce la expresión de f''(x) y pulsa ENTER, se dibujara f'' 

  • También puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x en la escena

 

7) Dibujar la gráfica

  • Resumir en una tabla los resultados anteriores ayudará a reflejarlos en la gráfica

x (-¥,-Ö3) -Ö3 -1 -Ö3/3 0 Ö3/3 1  Ö3 (Ö3,¥)
y - 0 4 32/9 3 32/9 4 0 -
y' + 0 - 0 + 0 -
y'' - 0 + 0 -
/ máx \ mín / máx \
Ç inf È inf Ç

  • En la escena está resumida la información anterior. Da a "dibujar?" valor 1 para ver la gráfica de la función.

 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Estudia y representa gráficamente las funciones polinómicas:

1) f(x)=x3-3x2+2

2) f(x)=-x4+2x3

3) f(x)=x5-5x3+4x

  • Estudia y representa las funciones anteriores en tu cuaderno, luego podrás comprobar su gráfica indicando el número en la escena.

 

María José García Cebrian

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000