REPRESENTACIÓN DE CURVAS

FUNCIONES EXPONENCIALES

Representar la función:  y=ex/x

1) Dominio

  • La función está definida para todo R excepto en x=0

2) Cortes con los ejes y signo

  • Con el eje OY: cuando x=0 la función no existe

    Con el eje OX: tampoco corta a este eje puesto que ex/x=0 no tiene solución.

  • Respecto al signo de la función será positiva si x>0 y negativa si x<0

3) Simetría

  • La función no es par ni impar, por lo que no presenta simetría ni respecto al eje de ordenadas ni respecto al origen.

  • Comprueba lo anterior cambiando el valor de x en la escena o arrastrando el punto rojo con el ratón. Comprueba también que la función es negativa si x<0 y positiva si x>0.

 

4) Asíntotas

  •  VERTICALES: la recta x=0 ya que

además y  lo que coincide con el signo de la función visto antes.

  • HORIZONTALES, en este caso recuerda que ex®+¥ si x®+¥ pero que ex®0 si x®-¥ por lo que distinguimos:  

              

la recta y=0 es pues asíntota horizontal cuando x®-¥  y no hay asíntotas oblicuas.

  • Comprueba que cuando x®-¥  y®0; y que cuando x®+¥  y®+¥, dando a x valores muy grandes o muy pequeños. ¿Cuál es el signo de f(x) según se acerque a 0 por la derecha o por la izquierda?

 

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

  • Calculamos la derivada y'=(x-1)ex/x2

  • La ecuación: (x-1)ex/x2=0 tiene como solución

    • x=1

  • Calculamos el signo de la derivada antes y después de este valor.

  • Para comprobar el máximo o mínimo podemos calcular también el signo de la segunda derivada en x=1

x (-¥,0) 0 (0,1)  1  (1,¥) 
y' - - 0 +
\ \ mín /

  • Introduce la expresión de f'(x) y pulsa ENTER, se dibujara f' 

  • También puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x en la escena

 

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

  • Calculamos la segunda derivada y''=(x2-2x+2)ex/x3

  • La ecuación  (x2-2x+2)ex/x3=0 no tiene soluciones reales luego no habrá puntos de inflexión. Ahora bien, si

    • Si x<0, f''(x)<0

    • Si x>0, f''(x)>0

    por tanto la concavidad cambia en x=0

x (-¥,0) 0 (0,¥) 
y'' -   +
Ç È

  • Introduce la expresión de f''(x) y pulsa ENTER, se dibujara f'' 

  • También puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x en la escena

 

7) Dibujar la gráfica

  • Resumir en una tabla los resultados anteriores ayudará a reflejarlos en la gráfica

x

® -¥

 (-¥,0) 0 (0,1) 1 (1,+¥) ® +¥
y AH:y=0 - A.V. + e + ® +¥
y' -   - 0 +
y'' -   +
\ \ mín /
Ç È

  • En la escena está resumida la información anterior. Da a "dibujar?" valor 1 para ver la gráfica de la función.

 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Estudia y representa gráficamente las funciones exponenciales:

1) f(x)=x2ex

2) f(x)=ex+e-x

3) f(x)=1/(1+e-x)

  • Estudia y representa las funciones anteriores en tu cuaderno, luego podrás podrás comprobar su gráfica indicando el número en la escena. Si quieres cambia la escala en cada caso para verlas mejor.

 

María José García Cebrian

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000