2.5 Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera procederemos así:

1º- Se lleva el ángulo a un sistema de coordenadas de forma que el vértice quede sobre el origen de coordenadas y el lado origen coincida con la parte positiva del eje X.

2º- Se elige un punto P cualquiera en el lado final del ángulo y se consideran sus coordenadas Px, Py y la distancia h del punto P al origen de coordenadas.

Hecho lo anterior. Las razones trigonométricas se definen tal y como aparecen en la escena.(Ten presente que Px, Py son valores con signo, h siempre se considera positivo)

Comprueba que cuando el ángulo está entre 0º y 90º este método de calcular las razones trigonométricas coincide con el que sabíamos.

Observa que son válidas para cualquier ángulo las relaciones entre las razones que ya hemos establecido.

Ejercicios:

Calcula el seno de 20º, 65º, 155º, 170º

Observa que si un ángulo está entre 0º y 180º el valor del seno es positivo.

¿Qué signo tiene el seno de los ángulos comprendidos entre 180º y 360º?

2.5.1 Circunferencia goniométrica

Se llama así a una circunferencia de radio 1 y con el centro en el origen de coordenadas.

Podemos considerar que el punto P que utilizamos para calcular las razones trigonométricas es el de intersección del lado final del ángulo con la circunferencia goniométrica. Esta consideración nos permite determinar unos segmentos en el plano que representan gráficamente las razones trigonométricas

Los segmentos que representan las razones seno, coseno, tangente y cotangente nos indican también el signo de estas razones.

De todas formas, debido a que la cosecante, la secante y la cotangente son las inversas del seno, coseno y tangente, con saber el signo de estas últimas sabremos el signo de las primeras.

2.5.2 Signo de las razones trigonométricas

Como las razones se calculan utilizando un punto del lado final del ángulo, resulta que el signo de una razón permanece en cada cuadrante. Todos los ángulos que terminan en el mismo cuadrante tienen el mismo signo para cada razón trigonométrica.

Utiliza la escena anterior para completar la siguiente tabla de signos:

2.5.3 Rango de variación de las razones trigonométricas:

Puesto que las representaciones gráficas del seno y del coseno se mantienen dentro de la circunferencia goniométrica, la escena anterior sirve para comprobar que para cualquier ángulo que consideremos, el valor del seno estará comprendido entre 1 y -1, es decir no existen ángulos con seno mayor que 1 ni ángulos con seno menor que -1. Lo mismo podemos decir del coseno.

Observa que a la secante y la cosecante les ocurre lo contrario, su valor absoluto no puede ser menor que 1. Esto es así porque son inversas del coseno y del seno respectivamente, pero la escena también lo corrobora porque su representación gráfica nunca es menor que el radio de la circunferencia goniométrica.

¿Puedes adivinar el rango de variación de la tangente y de la cotangente manipulando la escena?.

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000