NÚMEROS COMPLEJOS

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9.- Radicación de números complejos
Ya sabes que la operación de radicación es la inversa que la de potenciación.
En esta escena se nos presenta el vector de un número complejo z, y una potencia del mismo, zⁿ.
Veamos que para un único número complejo zⁿ , existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zⁿ.
Para comprobarlo sigue las siguientes instrucciones:
En el inicio de esta escena tenemos que (2_30º)³ = 8_90º

1.- Introduce el valor del argumento de z, A = 150º y pulsa la tecla ENTER.
Puedes ver que (2_150º)³ = 8_450º = 8_90º+360º = 8_90º

2.- Introduce el valor del argumento de z, A = 270º y pulsa la tecla ENTER.
Puedes ver que (2_270º)³ = 8_810º = 8_90º+2.360º = 8_90º

3.- En resumen tenemos que:
(2_30º)³ = (2_150º)³= (2_270º)³ = 8_90º
Observa que si unimos los tres afijos (extremos de los vectores) forman un triángulo equilátero.

¿Qué quiere decir todo esto?
Pues que si hacemos la raíz cúbica de 8_90º, nos dará tres soluciones: 2_30º, 2_150º y 2_270º
Hemos hecho lo contrario que cuando se eleva un complejo al cubo, hemos hecho la raíz cúbica del módulo, y hemos dividido el argumento por 3.

Otro ejemplo:
1.- Pulsa el botón inicio
2.- Introduce r=1, A=60º, n=4 y a continuación ENTER
3.- Pulsa el botón limpiar
4.- Ahora tenemos que (1_60º)⁴ = 1_240º
5.- Introduce A=150º, ENTER
6.- Ahora tenemos que (1_150º)⁴ = 1_600º= 1_240º+360º = 1_240º
7.- Introduce A=240º, ENTER
8.- Ahora tenemos que (1_240º)⁴ = 1_960º= 1_{240º+2*360º} = 1_240º
9.- Introduce A=330º, ENTER
10.- Ahora tenemos que (1_330º)⁴ = 1_1320º= 1_{240º+3*360º} = 1_240º

11.- Por tanto:

De estos dos ejemplos deducimos que la raíz cúbica tiene tres soluciones, y la raíz cuarta, cuatro.

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9.1.- RAÍZ CUADRADA
Vamos a hallar :

1.- Primero pasamos z=4+3i a forma polar:

z = 4+3i = 5_36.9º

2.- La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.

3.- Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son:
Si k=0 --> z₁=_18.4º
Si k=1 --> z₂=_198.4º

Si le seguimos dando valores a k=2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.

Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z₁ y z₂

EJERCICIO 12
Calcula en tu cuaderno las dos raices cuadradas de a) z = 1-i b) z = -9
c) z = 4i d) z = -2+2i Después comprueba tus resultados en la escena.
Nota: Después de introducir los valores de a y b, debes darle al botón LIMPIAR. Pero cuando cambias de k=0 a k=1 no es necesario, así verás las dos soluciones a la vez.

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9.2.- RAÍZ CÚBICA

Vamos a hallar :

1.- Primero pasamos z=2+4i a forma polar:

z = 2+4i = 4.5_63.4º

2.- La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3.

3.- Las tres soluciones de esta raíz cúbica son:
Si k=0 --> z₁=1.6_21.1º
Si k=1 --> z₂=1.6_141.1º
Si k=2 --> z₃=1.6_261.1º

Si le seguimos dando valores a k=3, 4, 5,... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia.
Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z₁, de z₂ y de z₃.

EJERCICIO 13
Calcula en tu cuaderno las tres raices cúbicas de a) z = -i b) z = -8
c) z = 6 d) z = -2+3i Después comprueba tus resultados en la escena.
Nota: Después de introducir los valores de a y b, debes darle al botón LIMPIAR. Pero cuando cambias de k=0 a k=1 y k =2 no es necesario, así verás las tres soluciones a la vez.

EJERCICIO 14
Comprueba en la escena anterior las tres raices cúbicas del complejo z = 8_90º, y que habíamos estudiado al principio del punto 9 de esta lección.
Ten en cuenta que en esta escena tienes que introducir el complejo en forma binómica.

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9.3.- RAÍZ N-ÉSIMA
En esta escena podrás calcular las n soluciones de la raíz n-ésima (de índice n) de cualquier complejo z, dado en forma polar.

EJERCICIO 15

1.- Calcula en tu cuaderno:
a)
b)
c)
d)

Comprueba tus resultados en esta escena, que debes darlos en forma polar y en forma binómica.

Nota: En esta escena hay que introducir los complejos en forma polar, si nos lo dan en forma binómica, hay que hacer previamente el cambio.
Cada vez que introduzcas un nuevo complejo hay que LIMPIAR la escena.

EJERCICIO 15
Comprueba en la escena anterior las cuatro raices cuartas del complejo z= 1_240º, y que habíamos estudiado en el segundo ejemplo del punto 9 de esta lección.
Ten en cuenta que en esta escena tienes que introducir el complejo en forma binómica.

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Autora: Ángela Núñez Castaín


	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000