NÚMEROS COMPLEJOS

1.- ¿Por qué más números?

En la siguiente escena está representada gráficamente la función:

y = ax²+bx+c

Donde puedes cambiar los valores de a, b y c para ver como cambia la gráfica para distintos valores de esos coeficientes.

Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas:

1.- En el inicio ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos P1 y P2, donde la gráfica corta al eje X?

2.- ¿Cómo calcularías algebráicamente esas coordenadas?

3.- ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x²-4x+3=0?

4.-¿Y las de x²-2x+1=0?

5.-¿Y las de x²-6x+11=0? 6.- Puedes dar otros valores a los coeficientes a, b y c, y con la ayuda de la escena ir resolviendo la ecuación

ax²+bx+c=0

Ya habrás deducido que para hallar los puntos de corte con el eje X de la gráfica de la función:

y = ax²+bx+c

Has tenido que resolver la ecuación:

ax²+bx+c=0

Mediante la fórmula:

Que nos da las dos soluciones de la ecuación, x1, x2, o lo que es lo mismo los puntos de corte de la función con el eje X: P1(x1,0), P2(x2,0)

Pero no siempre da dos soluciones, como habrás visto en los puntos 4 y 5.

7.- ¿De qué depende que la ecuación tenga dos, una o ninguna solución?

CONCLUSIONES

Si llamamos D=b²-4ac, DISCRIMINANTE de la ecuación de segundo grado
Si

DISCRIMINANTE	ECUACIÓN	FUNCIÓN
D>0	Dos soluciones	Dos puntos de corte con el eje X
D=0	Una solución	Un punto de corte con el eje X
D<0	Ninguna solución	Ningún punto de corte con el eje X

Pero habíamos titulado a este punto ¿Por qué más números?
Aquí tenemos la respuesta: Hay que dar solución al caso en el que el DISCRIMINANTE es negativo.
Esto es a cuando nos encontramos con la raíz cuadrada de un número negativo cuyo resultado no es ningún número real.

Al número se le llama unidad imaginaria

Así al resolver la ecuación x²-6x+11=0 del apartado 5, nos queda:

Al número se le llama NÚMERO COMPLEJO

a + bi	NÚMERO COMPLEJO en forma binómica
a y b	números reales
a	parte real
bi	parte imaginaria

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2.- HISTORIA

Desde Al'Khwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente Descartes (en la foto) en 1637 puso nombre a las raices cuadradas de números negativos, imaginarios, y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones son números de la forma a+bi, con a y b reales. Durante todo ese tiempo se manejaron esas soluciones sin definirlas claramente, aunque sí Albert Girard en 1629 afirmaba ya que una ecuación polinómica de grado n, tiene n soluciones.

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3.- Representación gráfica de los números complejos

Los números complejos se representan mediante vectores.

Al extremo del vector se le llama AFIJO del complejo.

Por ejemplo el AFIJO del número complejo 2+3i es el punto (2,3)

En el eje horizontal representamos la PARTE REAL del número complejo, por eso se le llama EJE REAL

En el eje vertical representamos la PARTE IMAGINARIA del número complejo, por eso se le llama EJE IMAGINARIO

Mueve con el ratón el AFIJO del número complejo de esta escena y podrás ver su representación gráfica por un vector.

Si quieres representar un número complejo de forma más exacta, puedes introducir en la parte inferior de la escena los valores de la parte real a, y de la parte imaginaria b y pulsar ENTER.

EJERCICIO 1
a) Representa en tu cuaderno los siguientes números complejos: 5 + 2i, -4 + 3i, -3 - 2i, 4.5 - 3i, 5 i, -2i, -3.8, 1, -1, i, -i

b) Comprueba tus representaciones en la escena anterior Volver al índice

4.- Opuesto y Conjugado

Número Complejo	z = a + bi	Opuesto de z	-z = -a - bi
		Conjugado de z

En esta escena está expresado un número complejo, su opuesto y su conjugado, ademas puedes ver la representación gráfica de los mismos.

Si mueves el AFIJO de z, irás viendo la representación y la expresión del opuesto y del conjugado de z.

EJERCICIO 2

a) Representa gráficamente en tu cuaderno los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados.
3-5i, 5+2i, -1-2i, -2+3i, 5, 0, 2i, -5i

b) Comprueba tus representaciones y expresiones en esta escena.

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5.- Las potencias de i

Vemos que se repiten cada 4

En esta escena puedes ver iⁿ, y su representación gráfica.

Cambia el valor de n en la parte inferior para ver las sucesivas potencias de i.

Para hallar iⁿ, basta dividir n entre 4, y el RESTO de la división entera será el nuevo exponente. Al ser el divisor 4, el RESTO sólo puede valer 0, 1, 2 o 3.

Así para efectuar i²⁴³haremos: i²⁴³ = i³= -i

EJERCICIO 3

Calcula las siguientes potencias de i en tu cuaderno, representa gráficamente los resultados, y compruébalo todo en la escena anterior. i¹⁸⁹, i¹³⁴, i²⁷⁵, i¹²⁸⁴ Volver al índice

Autora: Ángela Núñez Castaín


	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000