LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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7.- Comportamiento de una función cuando x®¥, o x®-¥
 
Vamos a estudiar el comportamiento de tres funciones cuando x®¥  y cuando x®-¥
Dando a x valores grandes positivos, podrás hallar el límite de f(x), g(x) y
h(x) cuando x®¥

Dando a x valores grandes negativos, podrás hallar el límite de f(x), g(x) y
h(x) cuando x®-¥



EJERCICIO 15
Cambiando el valor de x en la escena a valores cada vez mayores positivos o negativos verás las coordenadas de los puntos P, de f(x), Q, de g(x) y R de h(x)

y así hallarás los seis límites, tres cuando x®¥, y otros tres cuando x®-¥ 
Anota en tu cuaderno los resultados y comprueba que se pueden dar tres casos en las tendencias de las funciones: 
a) Que la función se puede hacer tan grande como queramos positiva.  
Tiende a ¥ 
b) Que la función se puede hacer tan grande como queramos en valor absoluto, pero negativa. 
Tiende a -¥ 
c) Que la función se aproxima a un número N tanto como queramos. 
Tiende a N


RESUMEN
Cuando x®¥  y cuando x®-¥ la función puede tener los siguientes límites:
 

 
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7.1.- Límites (x®±¥) de funciones polinómicas

Aquí tenemos tres funciones polinómicas: f(x)=x2-3x+2, g(x)=-x2-3x-2 y h(x)=x3-x+1

Comprueba en esta escena que dando a x los valores 10, 20, 30..., o sea que si x®¥ 
f(x) toma valores cada vez más grandes positivos, o sea f(x)®¥ 
g(x) toma valores cada vez más grandes en valor absoluto, pero negativos, o sea g(x)®-¥ 
h(x) toma valores cada vez más grandes positivos, o sea h(x)®¥ 

En los tres casos, y en general el límite de la función polinómica es infinito, y el signo lo determina la mayor potencia de x.

 Análogamente se puede deducir que cuando x®-¥ una función polinómica tiende a ¥ o a , el signo depende exclusivamente del término de mayor grado.
Compruébalo con las tres funciones de la escena dando a x los valores -10, -20, -30...

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7.2.- Límites (x®±¥) de funciones inversas de polinómicas
 
 Ya hemos visto que todas las funciones polinómicas cumplen que 
¿A qué tienden sus inversas cuando x®±¥?

En esta escena tienes representadas las inversas de tres funciones polinómicas. 

 

 

 

En cada una de ellas tienes un punto y sus coordenadas. Cambiando la x de los puntos, averigua el  
 
 

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7.3.- Límites (x®±¥) del cociente de dos funciones polinómicas
 
EJERCICIO 16

Calcula los límites de las siguientes funciones cuando x®¥  y cuando x®-¥ ayudándote de las correspondientes escenas:
 

 
 

 



Si te fijas en el grado del polinomio del numerador y en el del denominador, podemos sacar las siguientes conclusiones:
 

Si , entonces:

Si grado de P > grado de Q (m>n), entonces (el signo es el de )
Si grado de P < grado de Q (m<n), entonces
Si grado de P = grado de Q (m=n), entonces

 
Los límites cuando x®-¥ se resuelven de forma similar. Sólo hay que tener en cuenta la regla de los signos y si el exponente de la mayor potencia de x es par o impar.



EJERCICIO 17

Comprueba los límites que has calculado en el ejercicio anterior, aplicando las conclusiones expuestas.

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Autora: Ángela Núñez Castaín

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000