LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Volver al índice



 2.- CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

La idea de función contínua es la de que puede ser construida en un solo trazo

2.1.- DISCONTINUIDADES

He aquí varias razones por las que una función puede ser discontínua en un punto:
 

A) Tiene ramas infinitas en ese punto:

En este tipo de funciones el denominador se hace cero para x=a, por lo que hay una rama infinita en x=a 

El punto de DISCONTINUIDAD es x=a 

Si vas dando valores distintos a x, abcisa del punto P de la función ¿qué ocurre cuando x=a? 

Puedes cambiar el valor de a en la escena y viendo las distintas funciones que tienen un punto de DISCONTINUIDAD en x=a 

Este tipo de funciones se da de forma "natural" y no están definidas en el punto en que son discontínuas.

 
B) Presenta un salto

Esta es una función definida a trozos
Si x £ a,  es y = x 
Si x > a, es y = 1

 

El punto de DISCONTINUIDAD es x=a 

Puedes cambiar el valor de a en la escena e irán dibujándose distintas funciones. 

El punto (a,a) verde es de la función, pues para x £ a es y=x 

El punto (a,1) (hueco) no pertenece a la función pues y es igual a 1 sólo para x>a 

El punto rojo indica el valor de x donde la función NO ES CONTÍNUA. 

¿Para que valor de a la función que se representa es CONTÍNUA?

 Este tipo de funciones no se da de forma "natural", hay que "fabricarlas" expresamente, y están definidas en el punto en que son discontínuas.

C) No está definida (le falta un punto)

 En la escena siguiente, la función NO ES CONTÍNUA en x=a porque para ese valor se hace cero el denominador. Pero existe para el resto de valores de x.
Solamente le falta un punto.

Su DOMINIO es D=R-{a} 

En la escena el punto cuya abcisa es x=a está rodeado por un pequeño círculo hueco, para indicar que es el único punto que le falta a la gráfica para ser contínua. 
P es un punto cualquiera de la función que puedes ir moviendo al introducir su valor de la abcisa x 
Comprueba qué ocurre cuando x=a 
También puedes cambiar el valor de a e ir viendo distintas funciones similares, pero con el punto de discontinuidad en otro lugar. 

Este tipo de funciones se da de forma "natural" y no están definidas en el punto en que son discontínuas.

 
D) El punto que le falta lo tiene desplazado
 
 El Dominio de esta función es R, o sea existe para cualquier valor real de x, pero NO ES CONTÍNUA  en x=a
El punto (a,a) (en hueco) no pertenece a la función, se ha desplazado al punto (a,1) que si pertenece a la función.

El punto P es un punto cualquiera de la función. Comprueba lo que ocurre cuando introduces en la escena el valor x=a de la abcisa de P 

Para distintos valores de a van apareciendo funciones similares a la del inicio. Pero hay un valor de a para el cual tendremos una función contínua y ya no habrá huecos en la gráfica. ¿Cuál es ese valor de a? 

Este tipo de funciones no se da de forma "natural", hay que "fabricarlas" expresamente, y están definidas en el punto en que son discontínuas.

 Es interesante observar que las funciones A) y C), las únicas que presentan discontinuidades de forma "natural", no están definidas en el punto en que son discontínuas.
Esto es general y nos va a permitir dar un criterio eficaz y sencillo.

Volver al índice



2.2.- CRITERIO PARA RECONOCER FUNCIONES CONTÍNUAS
 

Todas las funciones definidas por expresiones analíticas elementales (es decir, todas las que conocemos hasta el momento) son contínuas en todos los puntos en los que están definidas.

EJEMPLOS:
y = x3 - 3x + 2 está definida en todo R. Por tanto es contínua en todo R.
 
es contínua en todos los puntos, salvo en x = -3, en donde no está definida.

Volver al índice


Autora: Ángela Núñez Castaín
 

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000